Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn - Lý Thuyết Chi Tiết

1. Định Nghĩa

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một tập hợp các bất phương trình bậc nhất hai ẩn, được liên kết với nhau. Một bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:

ax + by < c (hoặc ax + by ≤ c, ax + by > c, ax + by ≥ c)

Trong đó, a, b, c là các số thực và x, y là các ẩn số.

2. Nghiệm của Hệ Bất Phương Trình

Nghiệm của hệ bất phương trình là giá trị của x và y thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ. Về mặt hình học, tập nghiệm của hệ bất phương trình là miền phẳng trên mặt phẳng tọa độ, được giới hạn bởi các đường thẳng tương ứng với các bất phương trình trong hệ.

3. Biểu Diễn Hình Học Tập Nghiệm

Để biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình, ta thực hiện các bước sau:

1. Vẽ các đường thẳng tương ứng với các bất phương trình trong hệ. Lưu ý, nếu bất phương trình có dấu “≤” hoặc “≥” thì đường thẳng là đường liền nét, còn nếu có dấu “<” hoặc “>” thì đường thẳng là đường nét đứt.
2. Xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình. Để làm điều này, ta chọn một điểm không thuộc đường thẳng và kiểm tra xem điểm đó có thỏa mãn bất phương trình hay không. Nếu thỏa mãn, miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa điểm đó, còn nếu không thỏa mãn, miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa điểm đó.
3. Tập nghiệm của hệ bất phương trình là giao của các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

4. Ví Dụ Minh Họa

Xét hệ bất phương trình sau:

• x + y ≤ 2
• x - y ≥ 0
• x ≥ 0
• y ≥ 0

Vẽ các đường thẳng x + y = 2, x - y = 0, x = 0, y = 0. Xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình. Giao của các miền nghiệm là một tứ giác có các đỉnh là (0,0), (2,0), (1,1), (0,2). Đây là tập nghiệm của hệ bất phương trình.

5. Ứng Dụng

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

• Giải bài toán quy hoạch tuyến tính.
• Xác định miền giá trị của các biến.
• Mô tả các ràng buộc trong các bài toán thực tế.

6. Bài Tập Thực Hành

Để củng cố kiến thức, bạn hãy giải các bài tập sau:

1. Giải hệ bất phương trình: x + y < 3, x - y > 1, x ≥ 0, y ≥ 0.
2. Tìm tập nghiệm của hệ bất phương trình: 2x + y ≤ 4, x - y ≥ -1, x ≥ 0, y ≥ 0.
3. Một người nông dân có 100m hàng rào để rào một khu vườn hình chữ nhật. Hỏi khu vườn đó có kích thước như thế nào để diện tích lớn nhất?

7. Lời Khuyên

Để học tốt về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, bạn cần:

• Nắm vững định nghĩa và các khái niệm liên quan.
• Luyện tập giải nhiều bài tập khác nhau.
• Sử dụng các công cụ hỗ trợ như đồ thị để hình dung tập nghiệm.

Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao!