Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F=ax+by trên một miền đa giác là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán học, đặc biệt là trong các lớp 10, 11, 12. Đây là một ứng dụng thực tế của bất đẳng thức và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp các bài giảng chi tiết, dễ hiểu cùng với các bài tập thực hành đa dạng để giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải quyết bài toán này một cách hiệu quả.
Bước 1: Đặt ẩn (hai ẩn x, y), từ giả thiết lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Bước 2: Xác định miền đa giác nghiệm và tọa độ đỉnh của đa giác đó. Bước 3: Tính gía trị cuả F tại các đỉnh của đa giác. So sánh các giá trị thu được. Bước 4: Kết luận.
1. Lý thuyết
Nhiều bài toán thực tế được đưa về bài toán tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức \(F = ax + by\) trên một miền đa giác – miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Người ta chứng minh được F đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của đa giác.
+ Các bước giải
Bước 1: Đặt ẩn (hai ẩn x, y), từ giả thiết lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bước 2: Xác định miền đa giác nghiệm và tọa độ đỉnh của đa giác đó.
Bước 3: Tính gía trị cuả F tại các đỉnh của đa giác. So sánh các giá trị thu được.
Bước 4: Kết luận.
2. Ví dụ minh họa
Nhà cô Minh có mảnh vườn rộng \(8{m^2}\). Cô dự định trồng cà chua và cải bắp trên toàn bộ mảnh vườn đó. Nếu trồng cà chua thì cần 20 công và thu được 300 nghìn đồng trên mỗi \({m^2}\). Nếu trồng cải bắp thì cần 30 công và thu được 400 nghìn đồng trên mỗi \({m^2}\). Hỏi cần cần trồng mỗi loại cây trên diện tích bao nhiêu để tthu được nhiều tiền nhất mà tổng số công không quá 180?
Lời giải chi tiết
Gọi diện tích trồng cà chua và cải bắp lần lượt là x, y (đơn vị: \({m^2}\)). \((x,y \ge 0)\)
Mảnh vườn rộng \(8{m^2}\) nên ta có: \(x + y \le 8\)
Khi trồng x \({m^2}\) cà chua thì cần \(20x\) công và thu được \(300x\) nghìn đồng
Khi trồng y \({m^2}\) cải bắp thì cần \(30x\) công và thu được \(400x\) nghìn đồng
Tổng số công không quá 180 nên ta có: \(20x + 30y \le 180\) hay \(2x + 3y \le 18\)
Tổng số tiền thu được là: \(F(x;y) = 300x + 400y\)
Ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 8\\0 \le y \le 8\\x + y \le 8\\2x + 3y \le 18\end{array} \right.\)
Biểu diễn miền nghiệm trên hệ trục Oxy, ta được:
Miền nghiệm là miền tứ giác ABCD (kể cả các cạnh), trong đó \(A(0;6),B(6;2),C(8;0),O(0;0)\)
Lần lượt thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào biểu thức \(F(x;y) = 300x + 400y\) ta được:
\[\begin{array}{l}F(0;0) = 300.0 + 400.0 = 0\\F(0;6) = 300.0 + 400.6 = 2400\\F(2;6) = 300.2 + 400.6 = 3000\\F(8;0) = 300.8 + 400.0 = 2400\end{array}\]
Do đó F đạt giá trị lớn nhất bằng 3000 tại \(x = 2;y = 6\)
Vậy cô Minh cần mua trồng \(2{m^2}\) cà chua và \(6{m^2}\) cải bắp.
Bài toán tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của biểu thức F = ax + by trên một miền đa giác là một bài toán tối ưu hóa cơ bản trong toán học. Bài toán này có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực như kinh tế, kỹ thuật và khoa học.
Để giải bài toán này, chúng ta cần nắm vững một số kiến thức cơ bản:
Phương pháp giải bài toán này thường bao gồm các bước sau:
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = 2x + y trên miền đa giác có các đỉnh A(0;0), B(2;0), C(2;1), D(0;1).
Giải:
So sánh các giá trị, ta thấy:
Trong một số trường hợp, miền đa giác có thể không lồi. Khi đó, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của F có thể không đạt được tại các đỉnh của đa giác. Trong trường hợp này, chúng ta cần xét thêm các điểm nằm trên biên của đa giác.
Bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức F = ax + by trên miền đa giác có nhiều ứng dụng thực tế, ví dụ:
Để củng cố kiến thức, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:
Lưu ý: Khi giải bài tập, hãy vẽ miền đa giác và xác định tọa độ các đỉnh một cách chính xác. Đừng quên so sánh tất cả các giá trị F đã tính được để tìm ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
Hy vọng với những kiến thức và phương pháp giải được trình bày trên, bạn sẽ tự tin giải quyết các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = ax + by trên miền đa giác một cách hiệu quả. Chúc bạn học tập tốt!
