Sự biến thiên của hàm số là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán học, đặc biệt là ở cấp THPT.
Hiểu rõ về sự biến thiên của hàm số giúp học sinh phân tích được tính chất của hàm số, dự đoán được xu hướng thay đổi của hàm số và giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp các bài giảng chi tiết, bài tập đa dạng và phương pháp giải bài tập sự biến thiên của hàm số một cách dễ hiểu nhất.
Hàm số \(y = f(x)\) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\) Hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\)
1. Lý thuyết
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng (a;b).
+ Định nghĩa:
Hàm số \(y = f(x)\) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) nếu
\(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\)
Hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) nếu
\(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\)
Xét sự biến thiên của hàm số là tìm các khoảng hàm số đồng biến và các khoảng hàm số nghịch biến.
+ Mô tả sự biến thiên bằng bảng biến thiên
Kết quả xét sự biến thiên được tổng kết trong mộtbảng biến thiên. Trong đó:
Dấu mũi tên đi lên diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng tương ứng.
Dấu mũi tên đi xuống diễn tả hàm số nghịch biến trên khoảng tương ứng.
+ Mô tả sự biến thiên bằng đồ thị
Hàm số đồng biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi đồ thị hàm số có dạng “đi lên” (từ trái sang phải) trên khoảng đó.
Hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi đồ thị hàm số có dạng “đi xuống” (từ trái sang phải) trên khoảng đó.
+ Hàm số bậc nhất \(y = ax + b\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(a > 0\), nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(a < 0\).
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1.Chứng minh hàm số \(y = 2{x^2}\)đồng biến trên khoảng\((0; + \infty )\)
Xét hai số bất kì \({x_1},{x_2} \in (0; + \infty )\) sao cho \({x_1} < {x_2}\).
Ta có: \(0 < {x_1} < {x_2}\) nên \(2{x_1}^2 < 2{x_2}^2\) hay \(f({x_1}) < f({x_2})\)
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \((0; + \infty )\)
Ví dụ 2.Cho bảng biến thiên của hàm số \(y = 2{x^2} + 1\)
Ví dụ 3.Cho đồ thị của hàm số \(y = f(x)\)
Hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên khoảng (2;5)
Hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên khoảng (-4;2)
Sự biến thiên của hàm số là một khái niệm cốt lõi trong giải tích, giúp ta hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số trên một khoảng xác định. Việc nắm vững kiến thức này không chỉ quan trọng cho việc giải các bài toán cụ thể mà còn là nền tảng cho các kiến thức toán học nâng cao hơn.
Một hàm số f(x) được gọi là đồng biến trên một khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) sao cho x1 < x2 thì f(x1) ≤ f(x2). Hàm số được gọi là nghịch biến trên một khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) sao cho x1 < x2 thì f(x1) ≥ f(x2).
Điểm cực đại (cực đại cục bộ) của hàm số f(x) là điểm x0 sao cho f(x0) ≥ f(x) với mọi x trong một lân cận của x0. Điểm cực tiểu (cực tiểu cục bộ) của hàm số f(x) là điểm x0 sao cho f(x0) ≤ f(x) với mọi x trong một lân cận của x0.
Giá trị cực đại (cực đại cục bộ) là giá trị hàm số tại điểm cực đại. Giá trị cực tiểu (cực tiểu cục bộ) là giá trị hàm số tại điểm cực tiểu.
Việc nghiên cứu sự biến thiên của hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Xét hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2. Ta thực hiện các bước sau:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | |
| f(x) | ↗ | ↘ | ↗ |
Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên khoảng (0, 2). Hàm số đạt cực đại tại x = 0 với giá trị f(0) = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2 với giá trị f(2) = -2.
Hy vọng với những kiến thức và phương pháp trên, bạn sẽ nắm vững chủ đề sự biến thiên của hàm số và áp dụng thành công vào giải các bài toán toán học.
