Trong chương trình học toán lớp 10 và 11, việc nắm vững các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) và mối quan hệ giữa chúng là vô cùng quan trọng. Đây là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán lượng giác phức tạp hơn.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, bài giảng chi tiết và bài tập thực hành đa dạng để giúp bạn hiểu sâu sắc về chủ đề này.
Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc đặc biệt (bù nhau, phụ nhau, đối nhau, hơn kém (pi ), hơn kém (frac{pi }{2}), …)
1. Lý thuyết
+ Hai góc đối nhau \(\alpha \) và \( - \alpha \)
\(\sin ( - \alpha ) = - \sin \alpha \); | \(\tan ( - \alpha ) = - \tan \alpha \) |
\(\cos ( - \alpha ) = \cos \alpha \); | \(\cot ( - \alpha ) = - \cot \alpha \) |
+ Hai góc phụ nhau \(\alpha \) và \({90^ \circ } - \alpha \)
\(\sin \left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right) = \cos \alpha \); | \(\tan \left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right) = \cot \alpha \) |
\(\cos \left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right) = \sin \alpha \); | \(\cot \left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right) = \tan \alpha \) |
+ Hai góc bù nhau \(\alpha \) và \({180^ \circ } - \alpha \)
\(\sin \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = \sin \alpha \); | \(\tan \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = - \tan \alpha \) |
\(\cos \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = - \cos \alpha \); | \(\cot \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = - \cot \alpha \) |
+ Hai góc \(\alpha \) và \({90^ \circ } + \alpha \)
\(\sin \left( {{{90}^ \circ } + \alpha } \right) = \cos \alpha \); | \(\tan \left( {{{90}^ \circ } + \alpha } \right) = - \cot \alpha \) |
\(\cos \left( {{{90}^ \circ } + \alpha } \right) = - \sin \alpha \); | \(\cot \left( {{{90}^ \circ } + \alpha } \right) = - \tan \alpha \) |
+ Hai góc \(\alpha \) và \({180^ \circ } + \alpha \)
\(\sin \left( {{{180}^ \circ } + \alpha } \right) = - \sin \alpha \); | \(\tan \left( {{{180}^ \circ } + \alpha } \right) = \tan \alpha \) |
\(\cos \left( {{{180}^ \circ } + \alpha } \right) = - \cos \alpha \); | \(\cot \left( {{{180}^ \circ } + \alpha } \right) = \cot \alpha \) |
Chú ý: Với \(k \in \mathbb{Z}\), ta có:
\(\sin \left( {2k{{.180}^ \circ } + \alpha } \right) = \sin \alpha \); | \(\tan \left( {k{{.180}^ \circ } + \alpha } \right) = \tan \alpha \) |
\(\cos \left( {2k{{.180}^ \circ } + \alpha } \right) = \cos \alpha \); | \(\cot \left( {k{{.180}^ \circ } + \alpha } \right) = \cot \alpha \) |
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC, khi đó ta có
\(\sin A = \sin ({180^ \circ } - A) = \sin (B + C)\)
\(\sin \frac{A}{2} = \cos \left( {{{90}^ \circ } - \frac{A}{2}} \right) = \cos \left( {\frac{{B + C}}{2}} \right)\)
Ví dụ 2. Tính các giá trị lượng giác \(\sin {570^ \circ },\cos ( - {1035^ \circ }),\tan ({1500^ \circ }).\)
\(\begin{array}{l}\sin {570^ \circ } = \sin ({360^ \circ } + {180^ \circ } + {30^ \circ }) = \sin ({180^ \circ } + {30^ \circ }) = - \sin {30^ \circ } = - \frac{1}{2}\\\cos ( - {1035^ \circ }) = \cos ( - {3.2.180^ \circ } + {45^ \circ }) = \cos ({45^ \circ }) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\\tan ({1500^ \circ }) = \tan ({8.180^ \circ } + {60^ \circ }) = \tan ({60^ \circ }) = \sqrt 3 .\end{array}\)
Trong toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực lượng giác, việc hiểu rõ mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt là nền tảng quan trọng. Các góc đặc biệt thường được nhắc đến bao gồm 0°, 30°, 45°, 60° và 90°. Việc nắm vững các giá trị sin, cos, tan, cot của các góc này không chỉ giúp giải quyết các bài toán lượng giác cơ bản mà còn là bước đệm cho các khái niệm nâng cao hơn.
Dưới đây là bảng tổng hợp các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt:
| Góc (°) | Góc (rad) | sin | cos | tan | cot |
|---|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 | Không xác định |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | Không xác định | 0 |
Ngoài việc nhớ các giá trị lượng giác, việc hiểu các mối quan hệ giữa chúng cũng rất quan trọng:
Các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực:
Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức A = sin(30°) + cos(60°).
Giải: A = 1/2 + 1/2 = 1
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết góc B = 45°. Tính tỉ số tan(B).
Giải: tan(B) = tan(45°) = 1
Ngoài các góc đặc biệt đã nêu, còn có các góc liên kết đặc biệt như (90° - α), (180° - α), (180° + α), (360° - α). Việc hiểu mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán phức tạp hơn một cách hiệu quả.
Ví dụ:
Hy vọng rằng, với những kiến thức và ví dụ trên, bạn đã có cái nhìn tổng quan và sâu sắc hơn về quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc đặc biệt. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức này và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.
