Chương 3. Hàm số bậc hai và đồ thị

Chương 3: Hàm số bậc hai và đồ thị - Lý thuyết Toán 10

1. Định nghĩa hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y = ax² + bx + c, trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0. 'a' là hệ số bậc hai, 'b' là hệ số bậc nhất và 'c' là hệ số tự do.

Hàm số bậc hai còn được gọi là parabol. Đồ thị của hàm số bậc hai là một đường cong hình parabol.

2. Các dạng của hàm số bậc hai

• Dạng tổng quát: y = ax² + bx + c (a ≠ 0)
• Dạng chuẩn: y = a(x - h)² + k

Trong đó, (h; k) là tọa độ đỉnh của parabol.

3. Tính chất của hàm số bậc hai

3.1. Chiều mở của parabol

Parabol có chiều mở lên trên nếu a > 0 và chiều mở xuống dưới nếu a < 0.

3.2. Đỉnh của parabol

Tọa độ đỉnh của parabol được tính như sau:

• h = -b / 2a
• k = f(h) = a(h)² + b(h) + c

Đỉnh của parabol là điểm thấp nhất (nếu a > 0) hoặc điểm cao nhất (nếu a < 0) của đồ thị.

3.3. Trục đối xứng của parabol

Trục đối xứng của parabol là đường thẳng có phương trình x = -b / 2a. Đường thẳng này đi qua đỉnh của parabol và chia parabol thành hai phần đối xứng nhau.

3.4. Giao điểm của parabol với trục hoành (Ox)

Giao điểm của parabol với trục hoành là nghiệm của phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0. Số nghiệm của phương trình này xác định số giao điểm của parabol với trục hoành:

• Nếu Δ > 0: Parabol cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
• Nếu Δ = 0: Parabol tiếp xúc với trục hoành tại một điểm.
• Nếu Δ < 0: Parabol không cắt trục hoành.

Trong đó, Δ = b² - 4ac là biệt thức của phương trình bậc hai.

3.5. Giao điểm của parabol với trục tung (Oy)

Giao điểm của parabol với trục tung là điểm có tọa độ (0; c).

4. Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai

1. Xác định các yếu tố của parabol: a, b, c, đỉnh, trục đối xứng, giao điểm với trục tung.
2. Tính Δ và xác định số giao điểm với trục hoành.
3. Lập bảng giá trị của x và y với một vài giá trị của x xung quanh đỉnh.
4. Vẽ các điểm và nối chúng lại để được đồ thị parabol.

5. Các ứng dụng của hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

• Tính quỹ đạo của vật ném.
• Thiết kế các công trình kiến trúc có hình parabol (cầu, ăng-ten...).
• Giải các bài toán tối ưu hóa.

6. Bài tập ví dụ

Bài 1: Xác định a, b, c của hàm số y = 2x² - 5x + 3.

Bài 2: Tìm tọa độ đỉnh của parabol y = x² - 4x + 1.

Bài 3: Vẽ đồ thị hàm số y = -x² + 2x + 2.

7. Kết luận

Hy vọng bài học lý thuyết về Chương 3: Hàm số bậc hai và đồ thị đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng nhất. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.

Chúc bạn học tốt!