Hàm số bậc hai là một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng trong chương trình toán học, đặc biệt là ở cấp trung học phổ thông. Việc nắm vững kiến thức về hàm số bậc hai và đồ thị của nó không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán đại số mà còn là nền tảng cho các kiến thức toán học nâng cao hơn.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp các bài giảng chi tiết, dễ hiểu cùng với các bài tập thực hành đa dạng để giúp bạn hiểu sâu sắc về hàm số bậc hai và đồ thị của nó.
Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức \(y = a{x^2} + bx + c\), trong đó \(x\) là biến số, \(a,b,c\) là hằng số và \(a \ne 0\).
1. Lý thuyết
+ Định nghĩa:
Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức \(y = a{x^2} + bx + c\), trong đó \(x\) là biến số, \(a,b,c\) là hằng số và \(a \ne 0\).
Tập xác định của hàm số bậc hai là \(\mathbb{R}\)
+ Đồ thị hàm số bậc hai
Đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\;(a \ne 0)\) là một parabol, có đỉnh là điểm \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}} \right)\), có trục đối xứng là đường thẳng \(x = - \frac{b}{{2a}}\).
Parabol này quay bề lõm lên trên nếu \(a > 0\), xuống dưới nếu \(a < 0\).
+ Các bước vẽ đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\)
Bước 1: Xác định a,b,c từ đó suy ra tọa độ đỉnh \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}} \right)\)
Bước 2: Xác định trục đối xứng \(x = - \frac{b}{{2a}}\)
Bước 3: Xác định giao điểm của parabol với trục tung, trục hoành (nếu có) và vài điểm đặc biệt (đối xứng nhau qua trục đối xứng) trên parabol
Bước 4: Vẽ parabol.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1.Vẽ đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 2x + 2\)
Hàm số \(y = {x^2} + 2x + 2\) có \(a = 1,b = 2,c = 2\)
\( \Rightarrow - \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{{2.1}} = - 1;y( - 1) = {( - 1)^2} + 2.( - 1) + 2 = 1\)
+ Tọa độ đỉnh \(I( - 1;1)\)
+ Trục đối xứng \(x = - 1\)
+ Giao điểm với trục tung là A(0;2), không cắt trục hoành (vì \(y = {x^2} + 2x + 2 = {(x + 1)^2} + 1 > 0\;\forall x \in \mathbb{R}\))
+ Lấy điểm B(-2;2) đối xứng với A(0;2) qua trục đối xứng. Điểm C(1;5), D(-3;5) thuộc đồ thị.
Ví dụ 2.Vẽ đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + 2x\)
Hàm số \(y = - {x^2} + 2x\) có \(a = - 1,b = 2,c = 0\)
\( \Rightarrow - \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{{2.( - 1)}} = 1;y(1) = - {1^2} + 2.1 = 1\)
+ Tọa độ đỉnh \(I(1;1)\)
+ Trục đối xứng \(x = 1\)
+ Giao điểm với trục tung là O(0;0), điểm giao với trục hoành là A(2;0)
+ Lấy điểm B(-1;-3) thuộc đồ thị. Điểm C(3;-3) đối xứng với B(-1;-3) qua trục đối xứng
Hàm số bậc hai là hàm số có dạng tổng quát: y = ax² + bx + c, trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0. Hệ số 'a' đóng vai trò quan trọng trong việc xác định tính chất của đồ thị hàm số. Nếu a > 0, đồ thị là một parabol hướng lên trên, còn nếu a < 0, đồ thị là một parabol hướng xuống dưới.
Đồ thị của hàm số bậc hai là một đường cong hình parabol. Để vẽ đồ thị hàm số bậc hai, chúng ta cần xác định các yếu tố sau:
Có một số trường hợp đặc biệt của hàm số bậc hai cần lưu ý:
Nghiệm của hàm số bậc hai là các giá trị x sao cho y = 0. Phương trình ax² + bx + c = 0 được gọi là phương trình bậc hai. Số nghiệm của phương trình bậc hai được xác định bởi delta (Δ):
Hàm số bậc hai có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:
Để củng cố kiến thức về hàm số bậc hai và đồ thị, hãy thực hành giải các bài tập sau:
Hàm số bậc hai là một khái niệm quan trọng trong toán học. Việc hiểu rõ về hàm số bậc hai và đồ thị của nó sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và ứng dụng kiến thức vào thực tế. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức này!
