Hiểu rõ tính chẵn lẻ giúp chúng ta phân tích và vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác hơn. Bài viết này tại giaibaitoan.com sẽ cung cấp đầy đủ kiến thức về chủ đề này.
Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu định nghĩa, điều kiện nhận biết và các ví dụ minh họa để bạn có thể nắm vững kiến thức một cách dễ dàng.
Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu (forall x in D) thì ( - x in D) và (f( - x) = f(x)) Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu (forall x in D) thì ( - x in D) và (f( - x) = - f(x))
1. Lý thuyết
+ Định nghĩa:
Cho hàm số \(y = f(x)\) có tập xác định D.
Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f( - x) = f(x)\)
Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f( - x) = - f(x)\)
+ Nhận xét:
Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
+ Phương pháp xét tính chẵn, lẻ của hàm số
Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số \(y = f(x)\)
Bước 2: Chứng minh D là tập đối xứng, tức là \(\forall x \in D\) suy ra \( - x \in D\)
Bước 3: Tính \(f( - x)\)
2. Ví dụ minh họa
Hàm số chẵn
\(y = 2\); \(y = a{x^2}\) (với a là hằng số cho trước)
Hàm số lẻ
\(y = {x^3}\); \(y = \frac{1}{x}\)
Hàm số không chẵn, không lẻ
\(y = x + 1\); \(y = 2{x^2} - 5x + 3\)
Đặc biệt: Hàm số \(y = 0\) là hàm vừa chẵn vừa lẻ.
Xét tính chẵn lẻ của các hàm số
a) \(y = 2022x\)
b) \(y = 3{x^2} + 5\)
c) \(y = \sqrt {1 - x} \)
d) \(y = \;|x - 2|\)
Lời giải chi tiết
a) Hàm số \(f(x) = 2022x\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
\(\forall x \in \mathbb{R}\) suy ra \( - x \in \mathbb{R}\)
Ta có: \(f( - x) = 2022.( - x) = - 2022x = - f(x)\;\forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = 2022x\) là hàm số lẻ.
b) Hàm số \(f(x) = 3{x^2} + 5\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
\(\forall x \in \mathbb{R}\) suy ra \( - x \in \mathbb{R}\)
Ta có: \(f( - x) = 3{( - x)^2} + 5 = 3{x^2} + 5 = f(x)\;\forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = 3{x^2} + 5\) là hàm số chẵn.
c) Hàm số \(y = \sqrt {1 - x} \) có tập xác định \(D = ( - \infty ;1]\).
Với \(x = - 2 \in D\) thì \( - x = 2 \notin D\)
\( \Rightarrow \) D không là tập đối xứng.
Vậy hàm số không chẵn, không lẻ
d) Hàm số \(y = \;|x - 2|\)có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
\(\forall x \in \mathbb{R}\) suy ra \( - x \in \mathbb{R}\)
Tại \(x = 1 \in D\) ta có: \(f( - 1) = | - 1 - 2| = 3;f(1) = |1 - 2| = 1; - f(1) = - 1\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f( - 1) \ne f(1)\\f( - 1) \ne - f(1)\end{array} \right.\)
Vậy hàm số \(y = \;|x - 2|\) không chẵn, không lẻ.
Trong toán học, tính chẵn lẻ của một hàm số là một tính chất quan trọng giúp chúng ta hiểu rõ hơn về hành vi và đối xứng của hàm số đó. Một hàm số được gọi là hàm số chẵn nếu nó đối xứng qua trục tung, và được gọi là hàm số lẻ nếu nó đối xứng qua gốc tọa độ.
Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng đối xứng quanh gốc tọa độ. Hàm số f(x) được gọi là:
Để xác định một hàm số là chẵn hay lẻ, ta thường sử dụng các phương pháp sau:
Ta có: f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x). Vậy hàm số f(x) = x2 là hàm số chẵn.
Ta có: f(-x) = (-x)3 + 2(-x) = -x3 - 2x = -(x3 + 2x) = -f(x). Vậy hàm số f(x) = x3 + 2x là hàm số lẻ.
Ta có: f(-x) = (-x)2 + (-x) = x2 - x. Ta thấy f(-x) ≠ f(x) và f(-x) ≠ -f(x). Vậy hàm số f(x) = x2 + x không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ.
Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung. Điều này có nghĩa là nếu bạn gấp đồ thị theo trục tung, hai nửa của đồ thị sẽ trùng khớp với nhau.
Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ. Điều này có nghĩa là nếu bạn quay đồ thị 180 độ quanh gốc tọa độ, đồ thị sẽ không thay đổi.
Hãy xác định tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
Tính chẵn lẻ của hàm số là một khái niệm cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong toán học. Việc nắm vững kiến thức về tính chẵn lẻ sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán một cách hiệu quả hơn. Hy vọng bài viết này tại giaibaitoan.com đã cung cấp cho bạn những thông tin hữu ích và giúp bạn hiểu rõ hơn về chủ đề này.
