Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức nền tảng và phương pháp giải quyết các bài toán liên quan đến nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu cách xác định miền nghiệm và ứng dụng của nó trong thực tế.
Giaibaitoan.com tự hào là nền tảng học toán online uy tín, cung cấp các bài giảng chất lượng cao và bài tập đa dạng để giúp bạn nắm vững kiến thức toán học.
Cặp số \(({x_0};{y_0})\) được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn nếu nó là nghiệm chung của tất cả các bất phương trình trong hệ. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là tập hợp các điểm \(({x_0};{y_0})\) là nghiệm của hệ bất phương trình đó.
1. Lý thuyết
+ Định nghĩa:
Cặp số \(({x_0};{y_0})\) được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn nếu nó là nghiệm chung của tất cả các bất phương trình trong hệ.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là tập hợp các điểm \(({x_0};{y_0})\) là nghiệm của hệ bất phương trình đó.
+ Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Bước 1: Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ trên cùng mặt phẳng tọa độ. Gạch bỏ miền không là nghiệm.
Bước 2: Phần không bị gạch là miền nghiệm của hệ.
+ Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by \le c\)
Bước 1: Vẽ đường thẳng \(\Delta :ax + by = c\)
Bước 2: Lấy điểm \(A({x_0};{y_0})\) không thuộc \(\Delta \). Tính \(a{x_0} + b{y_0}\) rồi so sánh với c.
Bước 3: Kết luận
Nếu \(a{x_0} + b{y_0} < c\) thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng (kể cả bờ \(\Delta \)) chứa điểm \(A({x_0};{y_0})\).
Nếu \(a{x_0} + b{y_0} > c\) thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng (kể cả bờ \(\Delta \)) không chứa điểm \(A({x_0};{y_0})\).
2. Ví dụ minh họa
+ Nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
Cặp số \((7;0)\) là một nghiệm của hệ BPT \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 3y > 10}\\{x - y \le 7}\end{array}} \right.\)
Cặp số \((0;0)\) không là nghiệm của hệ BPT \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 3y > 10}\\{x - y \le 7}\end{array}} \right.\)
Điểm \((2;1)\) thuộc miền nghiệm của hệ BPT \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 0\\2x - 3y < 10\end{array}\\{x + 2y \le 7}\end{array}} \right.\)
Điểm \(( - 1;0)\) không thuộc miền nghiệm của hệ BPT \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 0\\2x - 3y < 10\end{array}\\{x + 2y \le 7}\end{array}} \right.\)
+ Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y > 2\\3x + y \le 6\end{array} \right.\)
Bước 1:
Vẽ đường thẳng \(\Delta :2x - y = 2\) (nét đứt) đi qua (1;0) và (0; -2).
Lấy điểm \(O(0;0)\) không thuộc \(\Delta \). Ta có \(2.0 - 0 = 0\) và \(c = 2\).
Vì \(2.0 - 0 = 0 < 2\) nên điểm \(O(0;0)\) không thuộc miền nghiệm.
Vậy miền nghiệm của BPT \(2x - y > 2\) là nửa mặt phẳng (không kể bờ \(\Delta \)) không chứa điểm \(O(0;0)\) (miền không gạch chéo).
Vẽ đường thẳng \(d:3x + y = 6\) (nét liền) đi qua (2;0) và (0; 6).
Lấy điểm \(O(0;0)\) không thuộc \(d\). Ta có \(3.0 + 0 = 0\) và \(c = 6\).
Vì \(3.0 + 0 = 0 \le 6\) nên điểm \(O(0;0)\) thuộc miền nghiệm.
Vậy miền nghiệm của BPT \(3x + y \le 6\) là nửa mặt phẳng (kể cả bờ \(d\)) chứa điểm \(O(0;0)\) (miền không gạch chéo).
Bước 2: Kết luận
Miền không bị gạch (kể cả d, không kể \(\Delta \)) là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một tập hợp các bất phương trình, mỗi bất phương trình chứa hai biến bậc nhất. Việc tìm nghiệm của hệ bất phương trình này có ý nghĩa quan trọng trong nhiều lĩnh vực, từ kinh tế đến kỹ thuật.
Một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:
Trong đó, ai, bi, và ci là các số thực, và x, y là các biến.
Nghiệm của hệ bất phương trình là các giá trị của x và y thỏa mãn đồng thời tất cả các bất phương trình trong hệ. Nói cách khác, nghiệm là các cặp số (x, y) khi thay vào tất cả các bất phương trình đều đúng.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tập hợp tất cả các nghiệm của hệ. Để biểu diễn miền nghiệm, ta thực hiện các bước sau:
Xét hệ bất phương trình sau:
Bước 1: Vẽ hai đường thẳng x + y = 2 và x - y = 0.
Bước 2: Xác định nửa mặt phẳng thỏa mãn mỗi bất phương trình.
- Với x + y < 2, ta chọn điểm (0, 0). Thay vào, ta có 0 + 0 < 2, điều này đúng. Vậy nửa mặt phẳng chứa (0, 0) là miền nghiệm của bất phương trình này.
- Với x - y > 0, ta chọn điểm (0, 0). Thay vào, ta có 0 - 0 > 0, điều này sai. Vậy nửa mặt phẳng không chứa (0, 0) là miền nghiệm của bất phương trình này.
Bước 3: Miền nghiệm của hệ bất phương trình là giao của hai nửa mặt phẳng này.
Nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:
Để củng cố kiến thức, hãy giải các bài tập sau:
Việc hiểu rõ về nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và cách biểu diễn miền nghiệm là rất quan trọng trong toán học và các ứng dụng thực tế. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích và giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
