Hàm số bậc hai là một trong những chủ đề cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán học, đặc biệt là ở lớp 10. Việc hiểu rõ sự biến thiên của hàm số bậc hai giúp học sinh giải quyết nhiều bài toán thực tế và xây dựng nền tảng vững chắc cho các kiến thức nâng cao.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp một hướng dẫn toàn diện về sự biến thiên của hàm số bậc hai, bao gồm lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập thực hành.
(a > 0) Hàm số nghịch biến trên (( - infty ; - frac{b}{{2a}})), đồng biến trên (( - frac{b}{{2a}}; + infty ))
1. Lý thuyết
Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\;(a \ne 0)\)
Trên khoảng \(( - \infty ; - \frac{b}{{2a}})\) | Trên khoảng \(( - \frac{b}{{2a}}; + \infty )\) | |
\(a > 0\) | Hàm số nghịch biến | Hàm số đồng biến |
\(a < 0\) | Hàm số đồng biến | Hàm số nghịch biến |
+ Bảng biến thiên
+ Chú ý
Từ bảng biến thiên, ta thấy
Khi \(a > 0\), hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}\) tại \(x = - \frac{b}{{2a}}\) và hàm số có tập giá trị là \([ - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}; + \infty )\)
Khi \(a < 0\), hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng \( - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}\) tại \(x = - \frac{b}{{2a}}\) và hàm số có tập giá trị là \(( - \infty ; - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}]\)
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1.Xét sự biến thiên của hàm số \(y = {x^2} + 2x + 2\)
Hàm số \(y = {x^2} + 2x + 2\) có \(a = 1,b = 2,c = 2\)
\( \Rightarrow - \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{{2.1}} = - 1;y( - 1) = {( - 1)^2} + 2.( - 1) + 2 = 1\)
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên \(( - 1; + \infty )\), nghịch biến trên \(( - \infty ; - 1)\)
Ví dụ 2.Lập bảng biến thiên và tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \(y = - {x^2} + 2x\)
Hàm số \(y = - {x^2} + 2x\) có \(a = - 1,b = 2,c = 0\)
\( \Rightarrow - \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{{2.( - 1)}} = 1;y(1) = - {1^2} + 2.1 = 1\)
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên \(( - \infty ;1)\), nghịch biến trên \((1; + \infty )\)
Hàm số bậc hai có dạng tổng quát là: y = ax² + bx + c, trong đó a, b, c là các hệ số và a ≠ 0. Sự biến thiên của hàm số bậc hai được thể hiện qua các yếu tố như đỉnh của parabol, trục đối xứng, hệ số a, tập giá trị và khoảng đồng biến, nghịch biến.
Đỉnh của parabol là điểm thấp nhất (nếu a > 0) hoặc cao nhất (nếu a < 0) trên đồ thị hàm số. Tọa độ đỉnh (x₀, y₀) được tính như sau:
Đỉnh của parabol đóng vai trò quan trọng trong việc xác định tính chất của hàm số.
Trục đối xứng của parabol là đường thẳng vuông góc với trục hoành và đi qua đỉnh của parabol. Phương trình của trục đối xứng là: x = -b / 2a.
Hệ số a quyết định chiều hướng của parabol:
Tập giá trị của hàm số bậc hai phụ thuộc vào dấu của hệ số a:
Hàm số bậc hai có tính đơn điệu khác nhau trên các khoảng khác nhau:
Xét hàm số y = 2x² - 8x + 6:
Hiểu rõ sự biến thiên của hàm số bậc hai có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:
Để củng cố kiến thức, hãy thực hành giải các bài tập sau:
Sự biến thiên của hàm số bậc hai là một kiến thức nền tảng quan trọng trong Toán học. Việc nắm vững các yếu tố như đỉnh, trục đối xứng, hệ số a, tập giá trị và khoảng đồng biến, nghịch biến sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả và tự tin. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.
