hiểu rõ bản chất hình học của bài toán cực trị tọa độ không gian – võ trọng trí

Kỹ thuật giải nhanh bài toán cực trị trong hình học tọa độ không gian: Tìm kiếm vị trí đặc biệt của nghiệm hình

Trong quá trình chinh phục các bài toán cực trị hình học tọa độ không gian, một chiến lược hiệu quả và tiết kiệm thời gian là tập trung vào việc xác định các vị trí đặc biệt mà tại đó giá trị cực trị (góc, khoảng cách, độ dài) đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Việc này giúp đơn giản hóa đáng kể quá trình tính toán, biến những bài toán phức tạp thành những bước giải ngắn gọn và dễ dàng.

Dưới đây là phân tích chi tiết về các dạng bài toán cực trị tọa độ không gian thường gặp, cùng với bản chất hình học và phương pháp tiếp cận giải nhanh:

1. Bài toán 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua một đường thẳng d và cách một điểm M không thuộc d một khoảng lớn nhất.
2. Bài toán 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d, tạo với đường thẳng d’ (d’ không song song với d) một góc lớn nhất.
3. Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua một điểm A cho trước và nằm trong mặt phẳng (P) cho trước, đồng thời cách một điểm M cho trước một khoảng nhỏ nhất (AM không vuông góc với (P)).
4. Bài toán 4: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước, nằm trong mặt phẳng (P) và cách điểm M (M khác A, MA không vuông góc với (P)) một khoảng lớn nhất.
5. Bài toán 5: Cho mặt phẳng (P) và điểm A thuộc (P), và đường thẳng d cắt (P) và không vuông góc với (P). Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua A, nằm trong (P) và tạo với d một góc nhỏ nhất.
6. Bài toán 6: Cho mặt phẳng (P) và điểm A thuộc (P) và đường thẳng d cắt (P) tại điểm khác A là M. Viết phương trình đường thẳng d’ nằm trong (P), đi qua A và khoảng cách giữa d và d’ lớn nhất.
7. Bài toán 7: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d song song với (P). Viết phương trình đường thẳng d’ song song với d và cách d một khoảng nhỏ nhất.
8. Bài toán 8: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và cách điểm M (khác A) một khoảng lớn nhất.
9. Bài toán 9: Các bài toán cực trị khác đòi hỏi sự linh hoạt và trực giác hình học để tìm ra lời giải tối ưu.

Nhận xét và phân tích chung:

Các bài toán trên đều xoay quanh việc tìm kiếm các yếu tố hình học đặc biệt. Ví dụ:

• Trong bài toán về khoảng cách lớn nhất/nhỏ nhất, việc tìm các điểm hoặc đường thẳng sao cho chúng tạo ra góc vuông với đường thẳng/mặt phẳng cần xét thường là chìa khóa để giải quyết bài toán.
• Đối với các bài toán về góc, việc xác định các mặt phẳng hoặc đường thẳng song song, vuông góc với các yếu tố đã cho có thể giúp đơn giản hóa việc tính toán góc.

Lưu ý quan trọng:

Việc nắm vững các kiến thức cơ bản về hình học không gian, đặc biệt là các công thức tính khoảng cách, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng, là nền tảng để giải quyết hiệu quả các bài toán cực trị này. Bên cạnh đó, rèn luyện khả năng tư duy không gian và trực giác hình học là yếu tố then chốt để nhanh chóng nhận ra các vị trí đặc biệt của nghiệm hình.