Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó. Đây là một khái niệm cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong hình học lớp 7, đặc biệt khi nghiên cứu về tam giác và các đường đồng quy.

1. Định nghĩa đường trung trực

Cho đoạn thẳng AB. Đường thẳng d được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng AB nếu d vuông góc với AB tại trung điểm I của AB.

Chú ý: Mọi điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

2. Tính chất của đường trung trực

Đây là tính chất quan trọng nhất cần nắm vững:

• Mọi điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.
• Ngược lại, mọi điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Chứng minh:

Xét tam giác ABC, điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC. Ta có:

1. MB = MC (tính chất đường trung trực)
2. Xét hai tam giác ABM và ACM, ta có:
• AB = AC (giả thiết)
• BM = CM (chứng minh trên)
• AM chung
3. Suy ra: ΔABM = ΔACM (c-c-c)
4. Do đó: ∠BAM = ∠CAM (hai góc tương ứng)
5. Vậy AM là tia phân giác của ∠BAC.

3. Ứng dụng của tính chất đường trung trực

Tính chất đường trung trực có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán hình học, đặc biệt là:

• Xác định trung điểm của một đoạn thẳng.
• Chứng minh một điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng.
• Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
• Xây dựng các điểm đối xứng qua một đường thẳng.

4. Bài tập ví dụ

Bài 1: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với BC là đường trung trực của BC. Chứng minh rằng nếu D là một điểm nằm trên d thì DA = DB.

Giải:

Vì D nằm trên đường trung trực của BC nên DB = DC. Xét tam giác ADC và ADB, ta có:

• AD chung
• DB = DC (chứng minh trên)
• ∠ADB = ∠ADC = 90°

Suy ra: ΔADB = ΔADC (c-g-c). Do đó: DA = DB (đpcm).

5. Mở rộng và liên hệ

Tính chất đường trung trực là cơ sở để hiểu và chứng minh các tính chất khác liên quan đến đường phân giác, đường cao, đường trung tuyến trong tam giác. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả hơn.

Ngoài ra, đường trung trực còn có ứng dụng trong thực tế, ví dụ như trong việc xây dựng các công trình kiến trúc, thiết kế các đường giao thông,...

6. Luyện tập thêm

Để củng cố kiến thức về tính chất đường trung trực, bạn nên thực hành thêm nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm kiếm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán online như giaibaitoan.com.

Chúc bạn học tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!