Tính chất tia phân giác của một góc

Trong hình học, tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc và chia góc đó thành hai góc bằng nhau. Hiểu rõ tính chất của tia phân giác là vô cùng quan trọng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác và các đường đồng quy.

1. Định nghĩa tia phân giác của một góc

Tia phân giác của góc xOy là tia Ot sao cho:

• Tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy.
• ∠xOt = ∠yOt

2. Tính chất của tia phân giác của một góc

Mọi điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. Ngược lại, mọi điểm cách đều hai cạnh của một góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

Chứng minh:

Xét tam giác OAB với Ot là tia phân giác của ∠AOB. Gọi D là hình chiếu của M lên OA và E là hình chiếu của M lên OB (M nằm trên Ot). Ta có:

• ∠AOM = ∠BOM (vì Ot là tia phân giác)
• OM là cạnh chung
• ∠OAM = ∠OBM (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra ΔOAM = ΔOBM (cạnh huyền - góc nhọn). Do đó, MD = ME (cạnh tương ứng). Vậy M cách đều hai cạnh OA và OB.

3. Ứng dụng của tính chất tia phân giác

Tính chất tia phân giác được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán liên quan đến tam giác cân, tam giác đều và các đường đồng quy trong tam giác.

Ví dụ 1:

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia phân giác của ∠BAC.

Giải:

Vì tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của BC nên AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác ABC. Do đó, AM ⊥ BC. Xét hai tam giác ABM và ACM, ta có:

• AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
• BM = CM (M là trung điểm của BC)
• AM là cạnh chung

Suy ra ΔABM = ΔACM (cạnh - cạnh - cạnh). Do đó, ∠BAM = ∠CAM (góc tương ứng). Vậy AM là tia phân giác của ∠BAC.

Ví dụ 2:

Cho tam giác ABC, trên tia phân giác của ∠BAC, lấy điểm D. Chứng minh D cách đều AB và AC.

Giải:

Vì D nằm trên tia phân giác của ∠BAC nên theo tính chất tia phân giác, D cách đều hai cạnh AB và AC. Điều này có nghĩa là khoảng cách từ D đến AB bằng khoảng cách từ D đến AC.

4. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức về tính chất tia phân giác, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:

1. Cho tam giác ABC, tia phân giác của ∠B cắt AC tại D. Biết AB = 6cm, BC = 8cm, AC = 10cm. Tính AD và DC.
2. Cho tam giác ABC cân tại A, trên tia phân giác của ∠A lấy điểm D. Chứng minh BD = CD.
3. Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = CD. Chứng minh AD là tia phân giác của ∠BAC.

5. Kết luận

Tính chất tia phân giác của một góc là một kiến thức cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán 7. Việc nắm vững tính chất này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học một cách dễ dàng và hiệu quả hơn. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình!

• Sách giáo khoa Toán 7
• Sách bài tập Toán 7
• Các trang web học toán online uy tín như giaibaitoan.com