tuyển tập một số bài toán cực trị trong hình học tọa độ không gian – lưu huy thưởng

Tuyển tập bài toán cực trị trong hình học tọa độ không gian: Đánh giá và Phân tích chuyên sâu

Tài liệu gồm 20 trang, tập trung vào một chủ đề quan trọng và thường gặp trong các kỳ thi Toán THPT Quốc gia và các kỳ thi chuyên: bài toán cực trị trong hình học tọa độ không gian. Điểm mạnh của tài liệu là sự tập trung vào hai dạng bài toán chính, giúp học sinh dễ dàng tiếp cận và hệ thống hóa kiến thức: cực trị liên quan đến việc viết phương trình mặt phẳng và cực trị liên quan đến việc viết phương trình đường thẳng.

Cách tiếp cận này rất hợp lý, bởi vì:

1. Tính đặc trưng của từng dạng bài: Bài toán cực trị viết phương trình mặt phẳng thường liên quan đến việc tối ưu hóa khoảng cách, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, hoặc các điều kiện liên quan đến giao điểm. Trong khi đó, bài toán cực trị viết phương trình đường thẳng thường tập trung vào việc tối ưu hóa diện tích, khoảng cách, hoặc các tính chất hình học khác của các điểm và đường thẳng.
2. Phân loại giúp học sinh định hướng: Việc chia thành hai phần rõ ràng giúp học sinh dễ dàng nhận diện dạng bài và áp dụng các phương pháp giải phù hợp.

Để minh họa cho chất lượng của tài liệu, chúng ta cùng xem xét một số ví dụ được trích dẫn:

• Bài toán 1: Cực trị viết phương trình mặt phẳng (khoảng cách lớn nhất): "Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: (x + 2)/1 = y/-2 = (z – 2)/2. Gọi Δ là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với d. Gọi (P): Ax + By + Cz + D = 0 (A, B, C ∈ Z) là mặt phẳng chứa Δ và có khoảng cách đến d là lớn nhất. Khi đó M = A² + B² + C² có thể là giá trị nào sau đây?"

Nhận xét: Đây là một bài toán điển hình về cực trị khoảng cách. Để giải bài toán này, học sinh cần nắm vững kiến thức về:

• Phương trình đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
• Điều kiện song song giữa hai đường thẳng.
• Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
• Kỹ năng sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách.
• Bài toán 2: Cực trị viết phương trình mặt phẳng (tổng nghịch đảo nhỏ nhất): "Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm M (1; 4; 9), cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức OA + OB + OC có giá trị nhỏ nhất. Mặt phẳng (P) đi qua điểm nào dưới đây?"

Nhận xét: Bài toán này liên quan đến ứng dụng của bất đẳng thức AM-GM. Học sinh cần:

• Biết cách viết phương trình mặt phẳng theo dạng đoạn chắn.
• Sử dụng bất đẳng thức AM-GM để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức OA + OB + OC.
• Tìm mối liên hệ giữa các điểm A, B, C và điểm M để xác định phương trình mặt phẳng (P).
• Bài toán 3: Cực trị viết phương trình đường thẳng (diện tích nhỏ nhất): "Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường thẳng (x + 1)/2 = (y – 1)/-1 = z/2. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm B và cắt đường thẳng tại điểm C sao cho diện tích tam giác ABC có giá trị nhỏ nhất. Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng nào sau đây?"

Nhận xét: Bài toán này đòi hỏi học sinh phải kết hợp kiến thức về:

• Phương trình đường thẳng trong không gian.
• Công thức tính diện tích tam giác trong không gian.
• Kỹ năng tìm giao điểm của hai đường thẳng.
• Sử dụng phương pháp đạo hàm hoặc phương pháp hình học để tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích.

Đánh giá chung:

Tài liệu này là một nguồn tài liệu hữu ích cho học sinh ôn luyện và nâng cao kiến thức về bài toán cực trị trong hình học tọa độ không gian. Việc phân loại bài toán theo dạng và cung cấp các ví dụ minh họa giúp học sinh dễ dàng tiếp cận và áp dụng các phương pháp giải. Tuy nhiên, để đạt hiệu quả cao nhất, học sinh cần kết hợp việc học lý thuyết với việc luyện tập thường xuyên và tìm hiểu các phương pháp giải khác nhau cho từng dạng bài.