Bài 1. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm

Trong thống kê, việc mô tả và tóm tắt dữ liệu là vô cùng quan trọng. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm là những công cụ hữu ích để làm điều này. Bài 1 trong SBT Toán 11 - Cánh diều tập trung vào việc tìm hiểu các số đặc trưng này khi làm việc với mẫu số liệu ghép nhóm.

1. Mẫu số liệu ghép nhóm là gì?

Mẫu số liệu ghép nhóm là một cách trình bày dữ liệu, trong đó các giá trị được chia thành các khoảng (nhóm) và chỉ số đại diện cho mỗi nhóm được sử dụng. Ví dụ, thay vì liệt kê tuổi của từng học sinh, chúng ta có thể chia thành các nhóm tuổi như 15-17, 18-20, v.v. và sử dụng giá trị trung bình của mỗi nhóm làm đại diện.

2. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Có ba số đặc trưng đo xu thế trung tâm chính:

• Trung bình cộng (Mean): Tổng của tất cả các giá trị chia cho số lượng giá trị. Trong trường hợp mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta sử dụng công thức trung bình cộng có trọng số.
• Trung vị (Median): Giá trị nằm ở giữa khi các giá trị được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Trong mẫu số liệu ghép nhóm, trung vị được xác định dựa trên tần số tích lũy.
• Mốt (Mode): Giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu. Trong mẫu số liệu ghép nhóm, mốt là nhóm có tần số lớn nhất.

3. Công thức tính toán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Giả sử chúng ta có mẫu số liệu ghép nhóm với các nhóm có cận dưới x_i, cận trên x_i+1, và tần số f_i.

a. Trung bình cộng

Trung bình cộng được tính như sau:

x̄ = (∑(x_i + x_i+1)/2 * f_i) / ∑f_i

b. Trung vị

Để tìm trung vị, chúng ta cần tính tần số tích lũy. Trung vị là giá trị thuộc nhóm chứa tần số tích lũy bằng hoặc vượt quá một nửa tổng tần số.

c. Mốt

Mốt là nhóm có tần số lớn nhất.

4. Ví dụ minh họa

Xét bảng tần số sau:

Tính trung bình cộng:

x̄ = ((15 * 5) + (25 * 8) + (35 * 12) + (45 * 3)) / (5 + 8 + 12 + 3) = 310 / 28 ≈ 11.07

Tìm trung vị:

Tổng tần số là 28. Một nửa tổng tần số là 14. Tần số tích lũy của nhóm [10-20) là 5, của nhóm [20-30) là 13, và của nhóm [30-40) là 25. Vì 14 nằm trong nhóm [20-30), trung vị thuộc nhóm này.

Tìm mốt:

Nhóm [30-40) có tần số lớn nhất (12), do đó mốt là nhóm [30-40).

5. Ứng dụng của các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Các số đặc trưng này có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:

• Phân tích dữ liệu kinh tế: Xác định thu nhập trung bình, giá cả trung bình, v.v.
• Nghiên cứu khoa học: So sánh kết quả thí nghiệm, đánh giá hiệu quả của các phương pháp điều trị.
• Quản lý doanh nghiệp: Đánh giá hiệu suất làm việc của nhân viên, phân tích doanh số bán hàng.

Hi vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.