Bài 1. Giới hạn của dãy số

Bài 1 trong chương 3 của sách Toán 11 tập 1, Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc giới thiệu khái niệm giới hạn của dãy số. Đây là một khái niệm quan trọng, đặt nền móng cho việc nghiên cứu về giới hạn hàm số và đạo hàm trong các chương tiếp theo.

1. Khái niệm giới hạn của dãy số

Một dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn hữu hạn L nếu với mọi số dương ε (epsilon) nhỏ tùy ý, tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n > N, ta có |u_n - L| < ε. Ký hiệu: lim_n→∞ u_n = L.

Dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn vô cực (dương hoặc âm) nếu với mọi số M dương (hoặc âm), tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n > N, ta có u_n > M (hoặc u_n < M).

2. Các dạng giới hạn cơ bản

Giới hạn 0: lim_n→∞ 0 = 0
Giới hạn của hằng số: lim_n→∞ c = c (với c là hằng số)
Giới hạn của n: lim_n→∞ n = ∞
Giới hạn của 1/n: lim_n→∞ 1/n = 0

3. Các tính chất của giới hạn

Giới hạn của tổng: lim_n→∞ (u_n + v_n) = lim_n→∞ u_n + lim_n→∞ v_n (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại)
Giới hạn của tích: lim_n→∞ (u_n * v_n) = lim_n→∞ u_n * lim_n→∞ v_n (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại)
Giới hạn của thương: lim_n→∞ (u_n / v_n) = (lim_n→∞ u_n) / (lim_n→∞ v_n) (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại và lim_n→∞ v_n ≠ 0)

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính lim_n→∞ (2n + 1)

Giải: lim_n→∞ (2n + 1) = lim_n→∞ 2n + lim_n→∞ 1 = ∞ + 1 = ∞

Ví dụ 2: Tính lim_n→∞ (1/n + 2/n²)

Giải: lim_n→∞ (1/n + 2/n²) = lim_n→∞ 1/n + lim_n→∞ 2/n² = 0 + 0 = 0

5. Bài tập áp dụng

Hãy tự giải các bài tập sau để củng cố kiến thức:

Bài 1.1 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Bài 1.2 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Bài 1.3 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

6. Lưu ý quan trọng

Khi tính giới hạn của dãy số, cần chú ý đến các tính chất của giới hạn và các dạng giới hạn cơ bản. Việc hiểu rõ khái niệm giới hạn và các tính chất liên quan sẽ giúp các em giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và chính xác.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức hữu ích về giới hạn của dãy số. Chúc các em học tập tốt!