Bài 1. Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 1. Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm - Giải Toán 12 Cánh Diều

Trong thống kê, việc đo lường mức độ phân tán của một mẫu số liệu là vô cùng quan trọng. Nó giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự biến động của dữ liệu và đưa ra những kết luận chính xác hơn. Bài 1 trong SGK Toán 12 Cánh Diều tập trung vào hai số đặc trưng đo mức độ phân tán cơ bản: khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị.

1. Khoảng biến thiên

Khoảng biến thiên (range) là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong một mẫu số liệu. Nó cho biết phạm vi mà dữ liệu trải rộng. Công thức tính khoảng biến thiên:

R = X_max - X_min

Trong đó:

• R là khoảng biến thiên
• X_max là giá trị lớn nhất trong mẫu
• X_min là giá trị nhỏ nhất trong mẫu

Ví dụ: Cho mẫu số liệu: 10, 12, 15, 18, 20. Khoảng biến thiên của mẫu là: 20 - 10 = 10.

2. Khoảng tứ phân vị

Khoảng tứ phân vị (interquartile range - IQR) là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba (Q₃) và tứ phân vị thứ nhất (Q₁). Nó đo lường mức độ phân tán của 50% dữ liệu trung tâm. Công thức tính khoảng tứ phân vị:

IQR = Q₃ - Q₁

Để tính khoảng tứ phân vị, chúng ta cần xác định các tứ phân vị Q₁, Q₂, Q₃.

• Q₁ (Tứ phân vị thứ nhất): Giá trị phân chia mẫu số liệu thành hai phần, sao cho 25% dữ liệu nhỏ hơn hoặc bằng Q₁.
• Q₂ (Tứ phân vị thứ hai): Trung vị của mẫu số liệu. 50% dữ liệu nhỏ hơn hoặc bằng Q₂.
• Q₃ (Tứ phân vị thứ ba): Giá trị phân chia mẫu số liệu thành hai phần, sao cho 75% dữ liệu nhỏ hơn hoặc bằng Q₃.

Cách tìm Q₁, Q₂, Q₃ cho mẫu số liệu ghép nhóm:

1. Tính cỡ mẫu n.
2. Tính các tứ phân vị Q₁, Q₂, Q₃ bằng công thức:

Q_i = a_i + ( (n/4)i - cf_i-1 ) * h

Trong đó:

• a_i là cận dưới của khoảng chứa Q_i
• cf_i-1 là tích lũy tần số của các khoảng trước khoảng chứa Q_i
• h là chiều rộng của mỗi khoảng

Ví dụ: Xét bảng tần số sau:

Tìm Q₁, Q₂, Q₃.

n = 40

Q₁: (n/4) * 1 = 10. Khoảng chứa Q₁ là [10-20). a₁ = 10, cf₀ = 5, h = 10. Q₁ = 10 + ((10) - 5) * 10 / 10 = 15.

Q₂: (n/4) * 2 = 20. Khoảng chứa Q₂ là [20-30). a₂ = 20, cf₁ = 15, h = 10. Q₂ = 20 + ((20) - 15) * 10 / 10 = 25.

Q₃: (n/4) * 3 = 30. Khoảng chứa Q₃ là [30-40). a₃ = 30, cf₂ = 30, h = 10. Q₃ = 30 + ((30) - 30) * 10 / 10 = 30.

IQR = Q₃ - Q₁ = 30 - 15 = 15.

3. Ý nghĩa của khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Khoảng biến thiên cho biết phạm vi rộng hẹp của dữ liệu. Tuy nhiên, nó dễ bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ. Khoảng tứ phân vị khắc phục nhược điểm này bằng cách chỉ tập trung vào 50% dữ liệu trung tâm, làm cho nó trở thành một thước đo phân tán ổn định hơn.

Việc hiểu và sử dụng khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị giúp chúng ta phân tích dữ liệu một cách hiệu quả và đưa ra những quyết định sáng suốt.