Bài 16. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Bài 16 trong Vở thực hành Toán 9 Tập 1 Chương V: Đường tròn, yêu cầu học sinh xác định vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một đường tròn. Vị trí tương đối này có thể là một trong ba trường hợp: đường thẳng không cắt đường tròn, đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, hoặc đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.

1. Lý thuyết cơ bản

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và định lý sau:

• Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Công thức tính khoảng cách d từ điểm M(x₀, y₀) đến đường thẳng Δ: ax + by + c = 0 là: d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)
• Bán kính của đường tròn: R là bán kính của đường tròn (O; R).
• Vị trí tương đối:
  • Nếu d > R: Đường thẳng và đường tròn không có điểm chung (đường thẳng nằm ngoài đường tròn).
  • Nếu d = R: Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn).
  • Nếu d < R: Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.

2. Phương pháp giải bài tập

Để giải bài tập về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định phương trình đường tròn: (x - a)² + (y - b)² = R², với (a, b) là tọa độ tâm và R là bán kính.
2. Xác định phương trình đường thẳng: ax + by + c = 0.
3. Tính khoảng cách d từ tâm đường tròn đến đường thẳng: Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
4. So sánh d với R: Dựa vào kết quả so sánh để kết luận về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.

3. Ví dụ minh họa

Bài tập: Cho đường tròn (x - 2)² + (y + 1)² = 9 và đường thẳng 3x - 4y + 1 = 0. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.

Giải:

• Tâm của đường tròn là I(2, -1) và bán kính R = 3.
• Khoảng cách d từ I đến đường thẳng 3x - 4y + 1 = 0 là: d = |3(2) - 4(-1) + 1| / √(3² + (-4)²) = |6 + 4 + 1| / √25 = 11/5 = 2.2
• So sánh d = 2.2 với R = 3, ta thấy d < R.
• Vậy, đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.

4. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:

• Bài 1: Cho đường tròn (x + 1)² + y² = 4 và đường thẳng x = -3. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.
• Bài 2: Cho đường tròn x² + y² = 25 và đường thẳng y = 5. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.
• Bài 3: Cho đường tròn (x - 1)² + (y - 2)² = 16 và đường thẳng 5x + 12y - 26 = 0. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.

5. Lưu ý quan trọng

Khi giải bài tập về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, cần chú ý:

• Kiểm tra kỹ phương trình đường tròn và đường thẳng.
• Tính toán khoảng cách d một cách chính xác.
• So sánh d với R một cách cẩn thận để đưa ra kết luận đúng.

Hy vọng với những kiến thức và phương pháp giải bài tập được trình bày trên đây, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn trong Vở thực hành Toán 9 Tập 1 Chương V: Đường tròn.