Bài 18. Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài 18. Phương trình quy về phương trình bậc hai - SGK Toán 10 - Kết nối tri thức

Bài 18 trong chương trình Toán 10 - Kết nối tri thức tập 2 tập trung vào việc giải quyết các phương trình không trực tiếp là phương trình bậc hai, nhưng có thể được biến đổi để đưa về dạng quen thuộc này. Việc nắm vững kỹ năng này là vô cùng quan trọng, vì nó là nền tảng cho việc giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn trong các chương trình học tiếp theo.

I. Lý thuyết cơ bản

Các phương trình thường gặp trong bài này bao gồm:

Phương trình chứa căn thức: Các phương trình có chứa biểu thức căn thức, thường cần phải bình phương hai vế để khử căn thức và đưa về phương trình bậc hai.
Phương trình chứa mẫu thức: Các phương trình có chứa phân thức, cần xác định điều kiện xác định của phương trình và quy đồng mẫu thức để giải.
Phương trình tích: Các phương trình có dạng A(x) * B(x) = 0, giải bằng cách giải từng phương trình A(x) = 0 và B(x) = 0.
Phương trình chia: Các phương trình có dạng A(x) / B(x) = 0, giải bằng cách giải phương trình A(x) = 0 với điều kiện B(x) ≠ 0.

II. Phương pháp giải

Để giải các phương trình quy về phương trình bậc hai, ta thực hiện các bước sau:

Biến đổi phương trình: Sử dụng các phép biến đổi đại số (bình phương, quy đồng, phân tích thành nhân tử,...) để đưa phương trình về dạng ax² + bx + c = 0.
Giải phương trình bậc hai: Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai hoặc phương pháp hoàn thiện bình phương để tìm nghiệm.
Kiểm tra nghiệm: Thay các nghiệm tìm được vào phương trình ban đầu để kiểm tra xem chúng có thỏa mãn điều kiện xác định hay không. Loại bỏ các nghiệm không thỏa mãn.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình √(2x + 1) = x - 1

Giải:

Điều kiện xác định: 2x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ -1/2
Bình phương hai vế: 2x + 1 = (x - 1)² ⇔ 2x + 1 = x² - 2x + 1
Giải phương trình bậc hai: x² - 4x = 0 ⇔ x(x - 4) = 0
Nghiệm: x = 0 hoặc x = 4
Kiểm tra nghiệm:

Với x = 0: √(2*0 + 1) = 0 - 1 ⇔ 1 = -1 (loại)
Với x = 4: √(2*4 + 1) = 4 - 1 ⇔ 3 = 3 (nhận)

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 4.

Ví dụ 2: Giải phương trình (x + 2) / (x - 1) = 3

Giải:

Điều kiện xác định: x ≠ 1
Quy đồng mẫu thức: x + 2 = 3(x - 1) ⇔ x + 2 = 3x - 3
Giải phương trình bậc nhất: 2x = 5 ⇔ x = 5/2
Kiểm tra nghiệm: x = 5/2 ≠ 1 (nhận)
Kết luận: Phương trình có nghiệm x = 5/2.

IV. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:

Giải phương trình √(x - 3) = x - 5
Giải phương trình (x - 1) / (x + 2) = 2
Giải phương trình (x² - 4) / (x - 2) = 5

Hy vọng với những kiến thức và ví dụ minh họa trên, các em sẽ hiểu rõ hơn về cách giải các phương trình quy về phương trình bậc hai. Chúc các em học tập tốt!