Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 2 trong chương 1 Toán 12 Cánh diều tập trung vào việc tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số bằng phương pháp sử dụng đạo hàm. Đây là một trong những ứng dụng quan trọng nhất của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số và giải quyết các bài toán thực tế.

I. Lý thuyết cơ bản

Để tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) trên một khoảng (a, b), ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm f'(x): Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số.
Tìm điểm dừng và điểm không xác định: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm dừng. Xác định các điểm mà đạo hàm không tồn tại (điểm không xác định).
Lập bảng biến thiên: Xác định dấu của f'(x) trên các khoảng xác định bởi các điểm dừng và điểm không xác định. Từ đó, xác định khoảng hàm số đồng biến, nghịch biến.
Kết luận về GTLN, GTNN: Dựa vào bảng biến thiên, xác định GTLN và GTNN của hàm số trên khoảng (a, b).

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên đoạn [-1; 3].

Giải:

Bước 1: Tính đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x
Bước 2: Tìm điểm dừng: Giải phương trình 3x² - 6x = 0, ta được x = 0 và x = 2.
Bước 3: Lập bảng biến thiên:

x	-1	0	2	3
f'(x)	+	-	+	+
f(x)	0	2	-2	8

Bước 4: Kết luận: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy:

Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 0) và (2; 3).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).
GTLN của hàm số trên đoạn [-1; 3] là f(3) = 8.
GTNN của hàm số trên đoạn [-1; 3] là f(2) = -2.

III. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = -x² + 4x - 3 trên đoạn [0; 3].

Bài tập 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = x⁴ - 2x² + 1 trên khoảng (-∞; ∞).

IV. Lưu ý quan trọng

Khi tìm GTLN và GTNN của hàm số, cần chú ý:

Kiểm tra xem hàm số có liên tục trên khoảng xét hay không.
Xác định đúng khoảng xét (đoạn, khoảng mở, nửa khoảng).
Lập bảng biến thiên chính xác để đưa ra kết luận đúng đắn.
Xem xét các điểm biên của khoảng xét, vì GTLN và GTNN có thể xảy ra tại các điểm này.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Chúc các em học tập tốt!