Lý thuyết Giá trị lớn nhất - nhỏ nhất hàm số Toán 12 Cánh Diều

Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Cánh Diều

Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trong chương trình Toán 12 Cánh Diều. Đây là một chủ đề quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi THPT Quốc gia.

Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản nhất về cách xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, các phương pháp giải bài toán liên quan và các ví dụ minh họa cụ thể.

1. Định nghĩa Khái niệm GTLN, GTNN của hàm số

1. Định nghĩa

Khái niệm GTLN, GTNN của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

- Số M là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) \( \le \) M với mọi \(x \in D\) và tồn tại \({x_0} \in D\) sao cho \(f({x_0})\) = M.

Kí hiệu M = \(\mathop {\max }\limits_{x \in D} f(x)\) hoặc M = \(\mathop {\max }\limits_D f(x)\)

- Số m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) \( \ge \) m với mọi \(x \in D\) và tồn tại \({x_0} \in D\) sao cho \(f({x_0})\) = m.

Kí hiệu m = \(\mathop {\min }\limits_{x \in D} f(x)\) hoặc m = \(\mathop {\min }\limits_D f(x)\)

2. Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một khoảng, đoạn hay nửa khoảng, ta có thể lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó. Căn cứ vào bảng biến thiên, ta tìm được GTLN và GTNN (nếu có) của hàm số

Các bước tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):

Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...,{x_n} \in (a;b)\), tại đó f’(x) = 0 hoặc không tồn tại
Tính \(f({x_1}),f({x_2}),...,f({x_n}),f(a)\) và \(f(b)\)
Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:

M = \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x)\); m = \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x)\)

Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + 3\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\)

Ta có: \(y' = 4{x^3} - 8x = 4x({x^2} - 2);y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = \sqrt 2 \) (vì \(x \in \left[ {0;4} \right]\))

y(0) = 3; y(4) = 195; y(\(\sqrt 2 \)) = -1

Do đó: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = y(4) = 195\); \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = y(\sqrt 2 ) = - 1\)

Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Cánh Diều 1

Chinh phục điểm cao Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán, rộng mở cánh cửa Đại học với nội dung Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Cánh Diều trong chuyên mục bài toán lớp 12 trên nền tảng toán math! Bộ bài tập lý thuyết toán thpt, được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, cam kết tối ưu hóa toàn diện lộ trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn trang bị chiến thuật làm bài hiệu quả, tự tin đạt kết quả đột phá, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vững vàng vào đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, khoa học và mang lại hiệu quả học tập vượt trội.

Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Cánh Diều

Trong chương trình Toán 12, chủ đề Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đóng vai trò quan trọng, giúp học sinh rèn luyện tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết, phương pháp giải và các bài tập minh họa theo chương trình Cánh Diều.

I. Khái niệm cơ bản

1. Giá trị lớn nhất (Maximum Value): Điểm x₀ được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x₀ sao cho f(x) ≤ f(x₀) với mọi x thuộc (a, b). Giá trị f(x₀) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng (a, b).

2. Giá trị nhỏ nhất (Minimum Value): Điểm x₀ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x₀ sao cho f(x) ≥ f(x₀) với mọi x thuộc (a, b). Giá trị f(x₀) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng (a, b).

3. Cực trị của hàm số: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số được gọi chung là cực trị của hàm số.

II. Điều kiện để hàm số đạt cực trị

Để hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm x₀, cần có điều kiện sau:

x₀ là điểm dừng của hàm số, tức là f'(x₀) = 0.
Đạo hàm bậc hai tại x₀ khác 0, tức là f''(x₀) ≠ 0.

Nếu f''(x₀) > 0 thì x₀ là điểm cực tiểu.

Nếu f''(x₀) < 0 thì x₀ là điểm cực đại.

III. Phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

1. Phương pháp đại số:

Tìm tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm bậc nhất f'(x).
Tìm các điểm dừng của hàm số bằng cách giải phương trình f'(x) = 0.
Lập bảng biến thiên của hàm số.
Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định.

2. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức:

Sử dụng các bất đẳng thức như bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức AM-GM để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

3. Phương pháp hình học:

Sử dụng đồ thị hàm số để xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

IV. Bài tập minh họa

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên đoạn [-1; 3].

Giải:

Tính đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x
Giải phương trình f'(x) = 0: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
Tính các giá trị của hàm số tại các điểm dừng và các đầu mút của đoạn:

f(-1) = -4
f(0) = 2
f(2) = -2
f(3) = 8

Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-1; 3] là 8, đạt tại x = 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1; 3] là -4, đạt tại x = -1.

V. Lưu ý khi giải bài toán

Luôn kiểm tra tập xác định của hàm số.
Chú ý đến các điểm không xác định của hàm số.
Sử dụng đúng phương pháp giải phù hợp với từng bài toán.
Kiểm tra lại kết quả sau khi giải.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!