Lý thuyết Đường tiệm cận Toán 12 Cánh Diều

Lý thuyết Đường tiệm cận của đồ thị hàm số Toán 12 Cánh Diều

Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết đường tiệm cận trong chương trình Toán 12 Cánh Diều.

Đường tiệm cận là một khái niệm quan trọng giúp chúng ta hiểu rõ hơn về hành vi của đồ thị hàm số khi x hoặc y tiến tới vô cùng.

Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ kiến thức về các loại đường tiệm cận, cách xác định và ứng dụng của chúng trong việc vẽ đồ thị hàm số.

1. Đường tiệm cận ngang

1. Đường tiệm cận ngang

Đường thẳng \(y = {y_0}\) gọi là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = {y_0}\)

Ví dụ: Tìm TCN của đồ thị hàm số \(y = f(x) = \frac{{3x - 2}}{{x + 1}}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = 3\)

Vậy đồ thị hàm số f(x) có TCN là y = 3.

2. Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng \(x = {x_0}\) gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = - \infty \);

Ví dụ: Tìm TCĐ của đồ thị hàm số \(y = f(x) = \frac{{3 - x}}{{x + 2}}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{3x - 2}}{{x + 2}} = + \infty \)

Vậy đồ thị hàm số có TCĐ là x = -2

3.Đường tiệm cận xiên

Đường thẳng \(y = ax + b(a \ne 0)\) gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\)

Ví dụ: Tìm TCX của đồ thị hàm số \(y = f(x) = x + \frac{1}{{x + 2}}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{x + 2}} = 0\)

Vậy đồ thị hàm số có TCX là y = x

Lý thuyết Đường tiệm cận của đồ thị hàm số Toán 12 Cánh Diều 1

Chinh phục điểm cao Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán, rộng mở cánh cửa Đại học với nội dung Lý thuyết Đường tiệm cận của đồ thị hàm số Toán 12 Cánh Diều trong chuyên mục bài toán lớp 12 trên nền tảng toán học! Bộ bài tập toán thpt, được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, cam kết tối ưu hóa toàn diện lộ trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn trang bị chiến thuật làm bài hiệu quả, tự tin đạt kết quả đột phá, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vững vàng vào đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, khoa học và mang lại hiệu quả học tập vượt trội.

Lý thuyết Đường tiệm cận của đồ thị hàm số Toán 12 Cánh Diều

Đường tiệm cận đóng vai trò then chốt trong việc phân tích và vẽ đồ thị hàm số. Hiểu rõ lý thuyết này giúp học sinh nắm vững kiến thức Toán 12 Cánh Diều và giải quyết các bài tập liên quan một cách hiệu quả.

1. Khái niệm Đường tiệm cận

Đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) là đường thẳng mà đồ thị của hàm số tiến gần đến khi x hoặc y tiến tới vô cùng.

2. Các loại Đường tiệm cận

Tiệm cận đứng: Đường thẳng x = a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→a⁺ f(x) = ±∞ hoặc lim_x→a^- f(x) = ±∞.
Tiệm cận ngang: Đường thẳng y = b là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→+∞ f(x) = b hoặc lim_x→-∞ f(x) = b.
Tiệm cận xiên: Đường thẳng y = ax + b (với a ≠ 0) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→+∞ [f(x) - (ax + b)] / x = 0 hoặc lim_x→-∞ [f(x) - (ax + b)] / x = 0.

3. Cách xác định Đường tiệm cận

Để xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số, ta thực hiện các bước sau:

Xác định tiệm cận đứng: Tìm các giá trị x mà mẫu số của hàm số bằng 0 và tử số khác 0.
Xác định tiệm cận ngang: Tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới +∞ và -∞.
Xác định tiệm cận xiên: Tính a = lim_x→∞ f(x) / x và b = lim_x→∞ [f(x) - ax]. Nếu a ≠ 0, thì y = ax + b là tiệm cận xiên.

4. Ví dụ minh họa

Xét hàm số y = (2x + 1) / (x - 1).

Tiệm cận đứng: x = 1 (vì mẫu số bằng 0 khi x = 1 và tử số khác 0).
Tiệm cận ngang: y = 2 (vì lim_x→∞ (2x + 1) / (x - 1) = 2).
Tiệm cận xiên: Không có (vì không tồn tại giới hạn a).

5. Ứng dụng của Đường tiệm cận

Đường tiệm cận có nhiều ứng dụng trong việc:

Vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác.
Phân tích hành vi của hàm số khi x hoặc y tiến tới vô cùng.
Giải các bài toán liên quan đến giới hạn và đồ thị hàm số.

6. Bài tập luyện tập

Hãy xác định các đường tiệm cận của các hàm số sau:

y = (x + 2) / (x - 3)
y = (3x² + 1) / (x² - 4)
y = (x³) / (x² + 1)

7. Lưu ý quan trọng

Khi xác định đường tiệm cận, cần chú ý đến điều kiện xác định của hàm số và tính giới hạn một cách cẩn thận. Đôi khi, đồ thị hàm số có thể cắt đường tiệm cận tại một số điểm, nhưng vẫn tiến gần đến đường tiệm cận khi x hoặc y tiến tới vô cùng.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về lý thuyết đường tiệm cận của đồ thị hàm số Toán 12 Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!