Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Tọa độ của Vectơ trong chương trình Toán 12 Cánh Diều. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng nhất về tọa độ của vectơ, giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về cách biểu diễn vectơ trên mặt phẳng tọa độ, các phép toán trên vectơ biểu diễn bằng tọa độ, và ứng dụng của tọa độ vectơ trong việc giải các bài toán hình học.
1. Tọa độ của một điểm a) Hệ trục tọa độ trong không gian
1. Tọa độ của một điểm
a) Hệ trục tọa độ trong không gian
Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản gọi là hệ tọa độ Oxyz. |
b) Tọa độ của một điểm
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M. - Xác định hình chiếu \({M_1}\) của điểm M trên mặt phẳng (Oxy). Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), tìm hoành độ a, tung độ b của điểm \({M_1}\) - Xác định hình chiếu P của điểm M trên trục cao Oz, điểm P ứng với số c trên trục Oz. Số c là cao độ của điểm M. Bộ số (a;b;c) là tọa độ của điểm M trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, kí hiệu là M(a;b;c) |
2. Tọa độ của một vecto
Tọa độ của điểm M được gọi là tọa độ của vecto \(\overrightarrow {OM} \) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của một vecto \(\overrightarrow u \) là tọa độ của điểm A, trong đó A là điểm sao cho \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow u \) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, nếu \(\overrightarrow u \) = (a;b;c) thì \[\overrightarrow u = a\overrightarrow i + b\overrightarrow j + c\overrightarrow k \] . Ngược lại, nếu \[\overrightarrow u = a\overrightarrow i + b\overrightarrow j + c\overrightarrow k \] thì \(\overrightarrow u \) = (a;b;c) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(M({x_M};{y_M};{z_M})\) và \(N({x_N};{y_N};{z_N})\). Khi đó: \(\overrightarrow {MN} = ({x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M};{z_N} - {z_M})\) |
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C có A(1;0;2), B(3;2;5), C(7;-3;9)
a) Tìm tọa độ của \(\overrightarrow {AA'} \)
b) Tìm tọa độ của các điểm B’, C’
Lời giải
a) Ta có: \(\overrightarrow {AA'} = ({x_{A'}} - {x_A};{y_{A'}} - {y_A};{z_{A'}} - {z_A}) = (4;0; - 1)\)
b) Gọi tọa độ của điểm B’ là (x,y,z) thì \(\overrightarrow {BB'} \) = (x-3;y-2;z-5). Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên ABB’A’ là hình bình hành, suy ra \(\overrightarrow {AA'} \) = \(\overrightarrow {BB'} \)
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 4\\y - 2 = 0\\z - 5 = - 1\end{array} \right.\) hay x = 7, y = 2, z = 4. Vậy B’(7;2;4)
Lập luận tương tự suy ra C’(11;-3;8)
Trong chương trình Toán 12 Cánh Diều, kiến thức về vectơ và tọa độ vectơ đóng vai trò quan trọng, là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán hình học và đại số. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết về tọa độ của vectơ, bao gồm định nghĩa, các phép toán và ứng dụng.
Một vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Vectơ được xác định bởi điểm gốc và điểm cuối. Ký hiệu vectơ thường dùng là AB, trong đó A là điểm gốc và B là điểm cuối.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi vectơ AB được xác định bởi tọa độ của điểm A(xA, yA) và điểm B(xB, yB). Tọa độ của vectơ AB được ký hiệu là AB = (xB - xA; yB - yA).
Ví dụ: Cho A(1; 2) và B(3; 5). Khi đó, AB = (3 - 1; 5 - 2) = (2; 3).
Khi biểu diễn vectơ bằng tọa độ, các phép toán cộng, trừ vectơ và phép nhân vectơ với một số thực được thực hiện như sau:
Vectơ đơn vị: Là vectơ có độ dài bằng 1.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng: Là vectơ cùng phương với đường thẳng đó.
Nếu đường thẳng có phương trình ax + by + c = 0, thì vectơ u = (b; -a) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
Tọa độ vectơ có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán hình học, bao gồm:
Bài 1: Cho A(2; -1) và B(5; 3). Tìm tọa độ của vectơ AB.
Giải:AB = (5 - 2; 3 - (-1)) = (3; 4).
Bài 2: Cho a = (1; 2) và b = (-3; 1). Tính a + b và 2a.
Giải:a + b = (1 - 3; 2 + 1) = (-2; 3). 2a = (2 * 1; 2 * 2) = (2; 4).
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng về Lý thuyết Tọa độ của Vectơ Toán 12 Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!
