Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12 tập 1 - Cánh diều. Bài tập 12 trang 48 thuộc chương trình học quan trọng, đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề.
Chúng tôi hiểu rằng việc tự học đôi khi gặp khó khăn, vì vậy đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm của giaibaitoan.com đã biên soạn lời giải chi tiết, từng bước, giúp bạn hiểu rõ bản chất của bài toán và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Một bác nông dân có ba tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài a (m) và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sông có dạng hình thang cân ABCD (bờ sông là đường thẳng CD không phải rào). Hỏi bác đó có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông?
Đề bài
Một bác nông dân có ba tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài a (m) và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sông có dạng hình thang cân ABCD (bờ sông là đường thẳng CD không phải rào). Hỏi bác đó có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phân tích đề bài.
Tìm các mối quan hệ trong bài.
Lập phương trình và giải.
Lời giải chi tiết
Dựng các đường cao AE và BF của hình thang cân ABCD như hình vẽ trên.
Vì ABCD là hình thang cân nên DE = FC và EF = AB = a.
Đặt DE = FC = x (m) (x > 0).
Ta có DC = DE + EF + FC = x + a + x = 2x + a.
Theo định lí Pythagore, ta suy ra \(AE = \sqrt {A{D^2} - D{E^2}} = \sqrt {{a^2} - {x^2}} \) (m).
Rõ ràng, x phải thỏa mãn điều kiện 0 < x < a.
Diện tích của hình thang cân ABCD là:
\(S = \frac{1}{2}(AB + CD)AE = \frac{1}{2}(a + 2x + a)\sqrt {{a^2} - {x^2}} = (a + x)\sqrt {{a^2} - {x^2}} \) (m2).
Xét hàm số \(S(x) = (a + x)\sqrt {{a^2} - {x^2}} \) với \(x \in (0;a)\).
Ta có \(S'(x) = \frac{{ - 2{x^2} - ax + {a^2}}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow - 2{x^2} - ax + {a^2} = 0 \Leftrightarrow (x + a)(a - 2x) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - a}\\{x = \frac{a}{2}}\end{array}} \right.\)
Khi đó trên khoảng (0;a), S’(x) = 0 khi \(x = \frac{a}{2}\).
Ta có bảng biến thiên:
Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số S(x) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) tại \(x = \frac{a}{2}\).
Vậy bác đó có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là \(\frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) (m2).
Bài tập 12 trang 48 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều thường liên quan đến các kiến thức về đạo hàm của hàm số, bao gồm việc tính đạo hàm, tìm cực trị, và khảo sát hàm số. Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản, quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, và đạo hàm của hàm hợp.
Bài tập 12 thường được chia thành các phần nhỏ hơn để học sinh dễ dàng tiếp cận. Thông thường, bài tập sẽ yêu cầu:
Để giúp học sinh hiểu rõ hơn, chúng ta sẽ đi vào giải chi tiết bài tập 12 trang 48. (Giả sử bài tập là: Cho hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2. Tìm cực đại, cực tiểu của hàm số.)
y' = 3x^2 - 6x
Giải phương trình y' = 0: 3x^2 - 6x = 0 => 3x(x - 2) = 0 => x = 0 hoặc x = 2
Tính đạo hàm cấp hai (y''): y'' = 6x - 6
Tại x = 0: y'' = -6 < 0 => Hàm số đạt cực đại tại x = 0. Giá trị cực đại là y(0) = 2
Tại x = 2: y'' = 6 > 0 => Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Giá trị cực tiểu là y(2) = -2
Hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2 đạt cực đại tại x = 0, với giá trị là 2 và đạt cực tiểu tại x = 2, với giá trị là -2.
Ngoài bài tập 12 trang 48, còn rất nhiều bài tập tương tự liên quan đến đạo hàm và khảo sát hàm số. Để giải quyết các bài tập này, bạn có thể áp dụng các phương pháp sau:
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về đạo hàm và khảo sát hàm số, bạn nên luyện tập thêm các bài tập khác trong SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều và các đề thi thử. Bạn cũng có thể tham khảo các tài liệu ôn thi Toán 12 trên mạng hoặc tại các trung tâm luyện thi.
Việc học Toán đòi hỏi sự kiên trì và luyện tập thường xuyên. Đừng ngại hỏi thầy cô hoặc bạn bè khi gặp khó khăn. Hãy luôn tìm tòi và khám phá những kiến thức mới để nâng cao trình độ của bản thân.
| Hàm số y | Đạo hàm y' |
|---|---|
| y = c (hằng số) | y' = 0 |
| y = x^n | y' = nx^(n-1) |
| y = sinx | y' = cosx |
| y = cosx | y' = -sinx |
