Giải bài tập 6 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài tập 6 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều một cách nhanh chóng và hiệu quả.

Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập tốt nhất, giúp bạn nắm vững kiến thức và đạt kết quả cao trong môn Toán.

Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau: a) (P) đi qua điểm M(-3; 1; 4) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2; - 4;1} \right)\); b) (P) đi qua điểm N(2; -1; 5) và có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 3; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 3;4;1} \right)\); c) (P) đi qua điểm I(4; 0; -7) và song song với mặt phẳng \(\left( Q \right):2x + y - z - 3 = 0\); d) (P) đi qua điểm K(-4; 9; 2)

Đề bài

Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau:

a) (P) đi qua điểm M(-3; 1; 4) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2; - 4;1} \right)\);

b) (P) đi qua điểm N(2; -1; 5) và có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 3; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 3;4;1} \right)\);

c) (P) đi qua điểm I(4; 0; -7) và song song với mặt phẳng \(\left( Q \right):2x + y - z - 3 = 0\);

d) (P) đi qua điểm K(-4; 9; 2) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 6}}{5}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 6 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều 1

+ Sử dụng kiến thức về phương trình mặt phẳng để viết phương trình mặt phẳng: Mặt phẳng (P) đi qua điểm \(I\left( {{x_o};{y_o};{z_o}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: \(A\left( {x - {x_o}} \right) + B\left( {y - {y_o}} \right) + C\left( {z - {z_o}} \right) = 0\)

+ Sử dụng kiến thức về cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng để tính: Nếu hai vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P) thì \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết

a) Phương trình mặt phẳng (P): \(2\left( {x + 3} \right) - 4\left( {y - 1} \right) + 1.\left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 4y + z + 6 = 0\).

b) Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&{ - 2}\\4&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&1\\1&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 3}\\{ - 3}&4\end{array}} \right|} \right) = \left( {5;5; - 5} \right)\).

(P) đi qua điểm N(2; -1; 5) và nhận \(\frac{1}{5}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {1;1; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (P): \(x - 2 + y + 1 - \left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - z + 4 = 0\)

c) Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow n = \left( {2;1; - 1} \right)\).

Vì (P) song song với (Q) nên mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow n = \left( {2;1; - 1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng (P) là: \(2\left( {x - 4} \right) + y - \left( {z + 7} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - z - 15 = 0\).

d) Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là: \(\overrightarrow u = \left( {2;1;5} \right)\).

Vì (P) vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) nên mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow u = \left( {2;1;5} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng (P) là:

\(2\left( {x + 4} \right) + y - 9 + 5\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 5z - 11 = 0\).

Chinh phục điểm cao Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán, rộng mở cánh cửa Đại học với nội dung Giải bài tập 6 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều trong chuyên mục đề thi toán 12 trên nền tảng toán! Bộ bài tập toán trung học phổ thông, được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, cam kết tối ưu hóa toàn diện lộ trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn trang bị chiến thuật làm bài hiệu quả, tự tin đạt kết quả đột phá, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vững vàng vào đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, khoa học và mang lại hiệu quả học tập vượt trội.

Giải bài tập 6 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều: Tổng quan

Bài tập 6 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều thuộc chương trình học về Nguyên hàm tích phân và ứng dụng. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về tính tích phân để giải quyết các bài toán thực tế, đặc biệt là liên quan đến diện tích hình phẳng.

Nội dung bài tập 6 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Bài tập 6 thường bao gồm các dạng bài sau:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong: Đây là dạng bài tập phổ biến nhất, yêu cầu học sinh xác định chính xác các điểm giao nhau của các đường cong và sử dụng công thức tính diện tích tích phân.
Tính thể tích vật thể tròn xoay: Dạng bài này yêu cầu học sinh sử dụng phương pháp đĩa hoặc phương pháp vỏ để tính thể tích của vật thể tròn xoay.
Ứng dụng tích phân để giải quyết các bài toán thực tế: Các bài toán này thường liên quan đến việc tính quãng đường đi, vận tốc, gia tốc, hoặc các đại lượng vật lý khác.

Phương pháp giải bài tập 6 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Để giải quyết hiệu quả bài tập 6 trang 87, bạn cần nắm vững các bước sau:

Xác định rõ yêu cầu của bài toán: Đọc kỹ đề bài để hiểu rõ những gì cần tìm và những thông tin đã cho.
Vẽ hình minh họa: Vẽ hình minh họa giúp bạn hình dung rõ hơn về bài toán và xác định các yếu tố cần thiết.
Chọn phương pháp giải phù hợp: Tùy thuộc vào dạng bài, bạn cần chọn phương pháp giải phù hợp, chẳng hạn như phương pháp đĩa, phương pháp vỏ, hoặc phương pháp tích phân từng phần.
Thực hiện tính toán: Thực hiện các phép tính tích phân một cách cẩn thận và chính xác.
Kiểm tra lại kết quả: Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính hợp lý và chính xác.

Ví dụ minh họa giải bài tập 6 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Bài toán: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x² và y = 4x.

Giải:

Tìm giao điểm của hai đường cong: x² = 4x => x = 0 hoặc x = 4. Vậy giao điểm là (0, 0) và (4, 16).
Xác định hàm nào lớn hơn trên đoạn [0, 4]: Trên đoạn [0, 4], 4x > x².
Tính diện tích: S = ∫₀⁴ (4x - x²) dx = [2x² - (x³/3)]₀⁴ = 32 - 64/3 = 32/3.

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x² và y = 4x là 32/3.

Lưu ý khi giải bài tập 6 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Một số lưu ý quan trọng khi giải bài tập này:

Luôn vẽ hình minh họa để hình dung rõ hơn về bài toán.
Kiểm tra kỹ các điều kiện của bài toán để đảm bảo tính chính xác.
Sử dụng các công thức tính tích phân một cách chính xác.
Thực hành giải nhiều bài tập khác nhau để nâng cao kỹ năng.

Tài liệu tham khảo hữu ích

Để học tốt hơn về chương trình Nguyên hàm tích phân và ứng dụng, bạn có thể tham khảo các tài liệu sau:

Sách giáo khoa Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Sách bài tập Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Các trang web học toán online uy tín như giaibaitoan.com

Kết luận

Bài tập 6 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp bạn củng cố kiến thức về tích phân và ứng dụng của nó. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa trên, bạn sẽ giải quyết bài tập này một cách dễ dàng và hiệu quả. Chúc bạn học tốt!