Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập mục 3 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán tương tự.
Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12 tập 2, tập trung vào các kiến thức về tích phân và ứng dụng của tích phân.
Trong Ví dụ 6, giả sử người đi biển di chuyển theo đường thẳng từ vị trí I(21; 35; 50) đến vị trí D (5 121; 658; 0). Tìm vị trí cuối cùng trên đoạn ID sao cho người đi biển còn có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 85 SGK Toán 12 Cánh diều
Trong Ví dụ 6, giả sử người đi biển di chuyển theo đường thẳng từ vị trí I(21; 35; 50) đến vị trí D (5 121; 658; 0). Tìm vị trí cuối cùng trên đoạn ID sao cho người đi biển còn có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để tính: Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính R có là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng ID đi qua điểm I và nhận \(\overrightarrow {ID} = \left( {5\;100;623; - 50} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên phương trình tham số đường thẳng ID là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 21 + 5\;100t\\y = 35 + 623t\\z = 50 - 50t\end{array} \right.\) (t là tham số).
Gọi H là vị trí cuối cùng trên đoạn ID sao cho người đi biển có thể nhìn thấy ánh sáng từ ngọn hải đăng. Khi đó, \(IH = R\)
Vì H thuộc đường thẳng ID nên \(H\left( {21 + 5\;100t;35 + 623t;50 - 50t} \right)\)
Ta có: \(IH = R \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {5100t} \right)}^2} + {{\left( {623t} \right)}^2} + {{\left( { - 50t} \right)}^2}} = 4000 \Leftrightarrow \sqrt {26\;400\;629{t^2}} = 4000\)
\( \Leftrightarrow t \approx \pm 0,78\)
+ Với \(t \approx 0,78\) ta có H(3 999; 520,94; 11), \(\overrightarrow {IH} = \left( {3\;978;485,94; - 39} \right)\). Khi đó, \(\overrightarrow {ID} = \frac{{50}}{{39}}\overrightarrow {IH} \) nên hai vectơ ID và IH cùng hướng, thỏa mãn H thuộc đoạn thẳng ID.
+ Với \(t \approx - 0,78\) ta có H(-3 999; -450,94; 89), \(\overrightarrow {IH} = \left( { - 3\;978; - 485,94;39} \right)\). Khi đó, \(\overrightarrow {ID} = - \frac{{50}}{{39}}\overrightarrow {IH} \) nên hai vectơ ID và IH ngược hướng, vậy H không thuộc đoạn thẳng ID.
Vậy ví trị cuối cùng trên đoạn thẳng ID sao cho người đi biển còn có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng là điểm H(3 999; 520,94; 11).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 85 SGK Toán 12 Cánh diều
Trong Ví dụ 6, giả sử người đi biển di chuyển theo đường thẳng từ vị trí I(21; 35; 50) đến vị trí D (5 121; 658; 0). Tìm vị trí cuối cùng trên đoạn ID sao cho người đi biển còn có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để tính: Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính R có là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng ID đi qua điểm I và nhận \(\overrightarrow {ID} = \left( {5\;100;623; - 50} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên phương trình tham số đường thẳng ID là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 21 + 5\;100t\\y = 35 + 623t\\z = 50 - 50t\end{array} \right.\) (t là tham số).
Gọi H là vị trí cuối cùng trên đoạn ID sao cho người đi biển có thể nhìn thấy ánh sáng từ ngọn hải đăng. Khi đó, \(IH = R\)
Vì H thuộc đường thẳng ID nên \(H\left( {21 + 5\;100t;35 + 623t;50 - 50t} \right)\)
Ta có: \(IH = R \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {5100t} \right)}^2} + {{\left( {623t} \right)}^2} + {{\left( { - 50t} \right)}^2}} = 4000 \Leftrightarrow \sqrt {26\;400\;629{t^2}} = 4000\)
\( \Leftrightarrow t \approx \pm 0,78\)
+ Với \(t \approx 0,78\) ta có H(3 999; 520,94; 11), \(\overrightarrow {IH} = \left( {3\;978;485,94; - 39} \right)\). Khi đó, \(\overrightarrow {ID} = \frac{{50}}{{39}}\overrightarrow {IH} \) nên hai vectơ ID và IH cùng hướng, thỏa mãn H thuộc đoạn thẳng ID.
+ Với \(t \approx - 0,78\) ta có H(-3 999; -450,94; 89), \(\overrightarrow {IH} = \left( { - 3\;978; - 485,94;39} \right)\). Khi đó, \(\overrightarrow {ID} = - \frac{{50}}{{39}}\overrightarrow {IH} \) nên hai vectơ ID và IH ngược hướng, vậy H không thuộc đoạn thẳng ID.
Vậy ví trị cuối cùng trên đoạn thẳng ID sao cho người đi biển còn có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng là điểm H(3 999; 520,94; 11).
Mục 3 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều thường xoay quanh các bài toán ứng dụng của tích phân, đặc biệt là tính diện tích hình phẳng. Để giải quyết hiệu quả các bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về:
Thông thường, mục 3 trang 85 sẽ bao gồm các bài tập sau:
Để giải bài tập này, ta thực hiện các bước sau:
Giả sử ta cần tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x2 và đường thẳng y = 4.
Bước 1: Vẽ đồ thị
Vẽ đồ thị hàm số y = x2 (một parabol) và đường thẳng y = 4.
Bước 2: Xác định giao điểm
Giải phương trình x2 = 4, ta được x = -2 và x = 2. Vậy giao điểm của parabol và đường thẳng là (-2, 4) và (2, 4).
Bước 3: Thiết lập công thức
Diện tích hình phẳng S được tính bằng:
S = ∫-22 (4 - x2) dx
Bước 4: Tính tích phân
S = [4x - (x3/3)]-22 = (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 16 - 16/3 = 32/3
Vậy diện tích hình phẳng là 32/3 đơn vị diện tích.
Ngoài SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Giải mục 3 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều đòi hỏi sự nắm vững kiến thức về tích phân và ứng dụng của tích phân. Bằng cách thực hành thường xuyên và áp dụng các phương pháp giải phù hợp, các em sẽ tự tin giải quyết các bài toán này một cách hiệu quả. Chúc các em học tập tốt!
