Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập mục 1 trang 28, 29, 30 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán.
Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12 tập 2, tập trung vào các kiến thức về tích phân và ứng dụng của tích phân.
Tính diện tích hình phẳng
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 28 SGK Toán 12 Cánh diều
Cho hàm số \(y = f(x) = {x^3} - 2{x^2} - x + 2\) có đồ thị minh họa ở Hình 11.
a) Quan sát Hình 11, hãy cho biết các hình phẳng \({H_1},{H_2},{H_3}\) lần lượt được giới hạn bởi các đường thẳng và đồ thị hàm số nào
b) Tính diện tích \({S_{{H_1}}},{S_{{H_2}}},{S_{{H_3}}}\) của các hình phẳng đó
c) Gọi H là tập hợp của các hình phẳng \({H_1},{H_2},{H_3}\). Hình phẳng H được gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 3. Chứng tỏ rằng diện tích \({S_H}\) của hình phẳng H bằng \({S_H} = {S_{{H_1}}} + {S_{{H_2}}} + {S_{{H_3}}} = \int\limits_0^3 {\left| {f(x)} \right|dx} \)
Phương pháp giải:
a) Quan sát hình vẽ
b) Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \)
c) Sử dụng tính chất của tích phân \(\int\limits_a^b {f(x)} dx = \int\limits_a^c {f(x)} dx + \int\limits_c^b {f(x)} dx\)
Lời giải chi tiết:
a) Hình \({H_1}\) được giới hạn bởi các đường thẳng x = 0, x = 1 và đồ thị hàm số y = f(x)
Hình \({H_2}\) được giới hạn bởi các đường thẳng x = 1, x = 2 và đồ thị hàm số y = f(x)
Hình \({H_3}\) được giới hạn bởi các đường thẳng x = 2, x = 3 và đồ thị hàm số y = f(x)
b) \({S_{{H_1}}} = \int\limits_0^1 {f(x)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - 2{x^2} - x + 2} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{2}{3}{x^3} - \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_0^1 = \frac{{13}}{{12}}\)
\(\int\limits_1^2 {f(x)dx = \int\limits_1^2 {\left( {{x^3} - 2{x^2} - x + 2} \right)} } dx = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{2}{3}{x^3} - \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_1^2 = - \frac{5}{{12}} \to {S_{{H_2} = }}\frac{5}{{12}}\)
\({S_{{H_3}}} = \int\limits_2^3 {f(x)dx = \int\limits_2^3 {\left( {{x^3} - 2{x^2} - x + 2} \right)} } dx = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{2}{3}{x^3} - \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_2^3 = \frac{{37}}{{12}}\)
c) \({S_H} = {S_{{H_1}}} + {S_{{H_2}}} + {S_{{H_3}}} = \int\limits_0^1 {f(x)dx} + \left| {\int\limits_1^2 {f(x)dx} } \right| + \int\limits_2^3 {f(x)dx} = \int\limits_0^3 {\left| {f(x)} \right|dx} \)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 30 SGK Toán 12 Cánh diều
Cho các hàm số \(y = {2^x}\), y = x
Gọi \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x = 1, x = 2 và đồ thị hàm số \(y = {2^x}\)
Gọi \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x = 1, x = 2 và đồ thị hàm số y = x
Gọi S là phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = {2^x}\), y = x và hai đường thẳng x = 1, x = 2
(Hình 14)
a) Biểu diễn S theo \({S_1},{S_2}\)
b) So sánh S và \(\int\limits_1^2 {({2^x} - x)dx} \)
Phương pháp giải:
Quan sát hình vẽ
Lời giải chi tiết:
a) \(S = {S_1} - {S_2}\)
b) \(S = {S_1} - {S_2}\)
\(\int\limits_1^2 {({2^x} - x)dx} = \int\limits_1^2 {{2^x}dx} - \int\limits_1^2 {xdx} = {S_1} - {S_2}\)
Vậy S = \(\int\limits_1^2 {({2^x} - x)dx} \)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 28 SGK Toán 12 Cánh diều
Cho hàm số \(y = f(x) = {x^3} - 2{x^2} - x + 2\) có đồ thị minh họa ở Hình 11.
a) Quan sát Hình 11, hãy cho biết các hình phẳng \({H_1},{H_2},{H_3}\) lần lượt được giới hạn bởi các đường thẳng và đồ thị hàm số nào
b) Tính diện tích \({S_{{H_1}}},{S_{{H_2}}},{S_{{H_3}}}\) của các hình phẳng đó
c) Gọi H là tập hợp của các hình phẳng \({H_1},{H_2},{H_3}\). Hình phẳng H được gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 3. Chứng tỏ rằng diện tích \({S_H}\) của hình phẳng H bằng \({S_H} = {S_{{H_1}}} + {S_{{H_2}}} + {S_{{H_3}}} = \int\limits_0^3 {\left| {f(x)} \right|dx} \)
Phương pháp giải:
a) Quan sát hình vẽ
b) Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \)
c) Sử dụng tính chất của tích phân \(\int\limits_a^b {f(x)} dx = \int\limits_a^c {f(x)} dx + \int\limits_c^b {f(x)} dx\)
Lời giải chi tiết:
a) Hình \({H_1}\) được giới hạn bởi các đường thẳng x = 0, x = 1 và đồ thị hàm số y = f(x)
Hình \({H_2}\) được giới hạn bởi các đường thẳng x = 1, x = 2 và đồ thị hàm số y = f(x)
Hình \({H_3}\) được giới hạn bởi các đường thẳng x = 2, x = 3 và đồ thị hàm số y = f(x)
b) \({S_{{H_1}}} = \int\limits_0^1 {f(x)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - 2{x^2} - x + 2} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{2}{3}{x^3} - \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_0^1 = \frac{{13}}{{12}}\)
\(\int\limits_1^2 {f(x)dx = \int\limits_1^2 {\left( {{x^3} - 2{x^2} - x + 2} \right)} } dx = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{2}{3}{x^3} - \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_1^2 = - \frac{5}{{12}} \to {S_{{H_2} = }}\frac{5}{{12}}\)
\({S_{{H_3}}} = \int\limits_2^3 {f(x)dx = \int\limits_2^3 {\left( {{x^3} - 2{x^2} - x + 2} \right)} } dx = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{2}{3}{x^3} - \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_2^3 = \frac{{37}}{{12}}\)
c) \({S_H} = {S_{{H_1}}} + {S_{{H_2}}} + {S_{{H_3}}} = \int\limits_0^1 {f(x)dx} + \left| {\int\limits_1^2 {f(x)dx} } \right| + \int\limits_2^3 {f(x)dx} = \int\limits_0^3 {\left| {f(x)} \right|dx} \)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 30 SGK Toán 12 Cánh diều
Cho các hàm số \(y = {2^x}\), y = x
Gọi \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x = 1, x = 2 và đồ thị hàm số \(y = {2^x}\)
Gọi \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x = 1, x = 2 và đồ thị hàm số y = x
Gọi S là phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = {2^x}\), y = x và hai đường thẳng x = 1, x = 2
(Hình 14)
a) Biểu diễn S theo \({S_1},{S_2}\)
b) So sánh S và \(\int\limits_1^2 {({2^x} - x)dx} \)
Phương pháp giải:
Quan sát hình vẽ
Lời giải chi tiết:
a) \(S = {S_1} - {S_2}\)
b) \(S = {S_1} - {S_2}\)
\(\int\limits_1^2 {({2^x} - x)dx} = \int\limits_1^2 {{2^x}dx} - \int\limits_1^2 {xdx} = {S_1} - {S_2}\)
Vậy S = \(\int\limits_1^2 {({2^x} - x)dx} \)
Mục 1 của SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều tập trung vào việc ôn tập và mở rộng kiến thức về tích phân. Các bài tập trong mục này thường yêu cầu học sinh vận dụng các công thức tích phân cơ bản, các phương pháp tính tích phân (đổi biến số, tích phân từng phần) và ứng dụng tích phân để giải quyết các bài toán thực tế.
Bài 1 thường là các bài tập về tính tích phân của các hàm số đơn giản. Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần nắm vững các công thức tích phân cơ bản và kỹ năng tính tích phân. Ví dụ:
Bài 2 thường yêu cầu học sinh tính diện tích của một hình phẳng giới hạn bởi các đường cong. Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần xác định được các điểm giao nhau của các đường cong, lập tích phân để tính diện tích và tính toán kết quả.
Ví dụ, để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b, ta sử dụng công thức:
S = ∫ab |f(x)| dx
Bài 3 thường yêu cầu học sinh tính thể tích của một vật thể tròn xoay tạo thành khi quay một hình phẳng quanh một trục. Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần sử dụng phương pháp đĩa tròn hoặc phương pháp vỏ trụ để lập tích phân và tính toán kết quả.
Ví dụ, để tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox, ta sử dụng công thức:
V = π∫ab [f(x)]2 dx
Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết các bài tập trang 28, 29, 30 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều:
Tính tích phân sau: ∫(2x + 1) dx
Lời giải:
∫(2x + 1) dx = ∫2x dx + ∫1 dx = 2∫x dx + ∫1 dx = 2(x2/2) + x + C = x2 + x + C
Tính tích phân sau: ∫sin(x) dx
Lời giải:
∫sin(x) dx = -cos(x) + C
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x2, trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = 2.
Lời giải:
S = ∫02 x2 dx = [x3/3]02 = (23/3) - (03/3) = 8/3
Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = √x, trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = 4 quanh trục Ox.
Lời giải:
V = π∫04 (√x)2 dx = π∫04 x dx = π[x2/2]04 = π(42/2) - π(02/2) = 8π
Hy vọng với những hướng dẫn chi tiết này, các em sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập về tích phân trong SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều. Chúc các em học tập tốt!
