Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12 tập 1 - Cánh diều. Bài tập 10 trang 47 thuộc chương trình học quan trọng, đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức về hàm số và đồ thị.
Chúng tôi hiểu rằng việc tự giải bài tập đôi khi gặp khó khăn. Vì vậy, đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm của giaibaitoan.com đã biên soạn lời giải chi tiết, giúp bạn hiểu rõ bản chất của bài toán và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Một trang sách có dạng hình chữ nhật với diện tích là 384 cm². Sau khi để lề trên và lề dưới đều là 3 cm, để lề trái và lề phải đều là 2 cm. Phần còn lại của trang sách được in chữ. Kích thước tối ưu của trang sách là bao nhiêu để phần in chữ trên trang sách có diện tích lớn nhất?
Đề bài
Một trang sách có dạng hình chữ nhật với diện tích là 384 cm². Sau khi để lề trên và lề dưới đều là 3 cm, để lề trái và lề phải đều là 2 cm. Phần còn lại của trang sách được in chữ. Kích thước tối ưu của trang sách là bao nhiêu để phần in chữ trên trang sách có diện tích lớn nhất?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phân tích đề bài.
Tìm các mối quan hệ trong bài.
Lập phương trình và giải.
Lời giải chi tiết
Giả sử chiều rộng của trang sách là x và chiều dài là y. Theo đề bài, diện tích của trang sách là:
$xy~=~384~cm{}^\text{2}$.
Khi để lề trên và lề dưới đều là 3 cm, lề trái và lề phải đều là 2 cm thì diện tích phần in chữ sẽ là:
\(\left( {y - 2.3} \right)\left( {x - 2.2} \right)\; = \;\left( {y - 6} \right)\left( {x - 4} \right)\)
Ta có: \(x = \frac{{384}}{y}\).
Thay x vào phương trình \(\left( {y - 6} \right)\left( {x - 4} \right)\) ta thu được \(\left( {x - 4} \right)\left( {\frac{{384}}{x} - 6} \right)\).
Xét \(f\left( x \right) = \;\left( {x - 4} \right)\left( {\frac{{384}}{x} - 6} \right)\)
\( = \frac{{ - 6{x^2} + 408x - 1536}}{x}\) với \(x \in (4;64)\) do \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 4 > 0}\\{\frac{{384}}{x} - 6 > 0}\end{array}} \right.\).
Ta có: \(f'(x) = \frac{{ - 6{x^2} + 1536}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 16\). Với \(x \in (4;64)\) thì chỉ xét x = 16.
Ta có bảng biến thiên:
Với \(x = 16\) thì \(y = \frac{{384}}{x} = \frac{{384}}{{16}} = 24\).
Vậy kích thước của trang sách có chiều dài 24 cm, chiều rộng 16 cm thì phần in chữ trên trang sách có diện tích lớn nhất.
Bài tập 10 trang 47 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều là một bài toán điển hình về việc xét tính đơn điệu của hàm số. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu, và các phương pháp xét dấu đạo hàm.
Đề bài yêu cầu xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
Để xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước sau:
f'(x) = 3x2 - 6x = 3x(x - 2)
f'(x) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
Bảng xét dấu f'(x):
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | |
| f(x) | NB | Đ | CT |
Hàm số đồng biến trên (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên (0; 2).
f'(x) = 4x3 - 12x2 + 8x = 4x(x2 - 3x + 2) = 4x(x - 1)(x - 2)
f'(x) = 0 ⇔ x = 0, x = 1, x = 2
Bảng xét dấu f'(x):
| x | -∞ | 0 | 1 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | - | + | - | + | |
| f(x) | Đ | CT | NB | CT |
Hàm số nghịch biến trên (-∞; 0) và (1; 2), đồng biến trên (0; 1) và (2; +∞).
y = (x - 1)(x + 1)(x + 2) = x3 + 2x2 - x - 2
f'(x) = 3x2 + 4x - 1
Giải phương trình 3x2 + 4x - 1 = 0, ta được x1 = (-2 - √7)/3 và x2 = (-2 + √7)/3
Bảng xét dấu f'(x):
| x | -∞ | (-2 - √7)/3 | (-2 + √7)/3 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | |
| f(x) | NB | Đ | CT |
Hàm số đồng biến trên (-∞; (-2 - √7)/3) và ((-2 + √7)/3; +∞), nghịch biến trên ((-2 - √7)/3; (-2 + √7)/3).
Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải rõ ràng này, bạn đã hiểu rõ cách giải bài tập 10 trang 47 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!
