Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài tập 6 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập tốt nhất, giúp bạn nắm vững kiến thức và đạt kết quả cao trong môn Toán.
Tìm các đường TCN và TCĐ của mỗi hàm số sau: A. (y = frac{{5x + 1}}{{3x - 2}}) B. (y = frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}}) C. (y = frac{x}{{sqrt {{x^2} - 4} }})
Đề bài
Tìm các đường TCN và TCĐ của mỗi hàm số sau:
A. \(y = \frac{{5x + 1}}{{3x - 2}}\)
B. \(y = \frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}}\)
C. \(y = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tìm TXD.
Phân tích hàm số.
Tìm TCD, TCN.
Lời giải chi tiết
A. \(y = \frac{{5x + 1}}{{3x - 2}}\)
Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{2}{3}} \right\}\)
Đặt mẫu: \(3x - 2 = 0\) → \(x = \frac{2}{3}\).
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{2}{3}} (5x + 1) = 5.\frac{2}{3} + 1 = \frac{{13}}{3}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{2}{3}} (3x - 2) = 3.\frac{2}{3} - 2 = 0\).
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{2}{3}} \frac{{5x + 1}}{{3x - 2}} = \infty \).
Vậy hàm số có TCĐ là: \(x = \frac{2}{3}\).
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{5x + 1}}{{3x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{5 + \frac{1}{x}}}{{3 - \frac{2}{x}}} = \frac{5}{3}\).
Vậy, hàm số có TCN là: \(y = \frac{5}{3}\).
B. \(y = \frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}}\)
TXĐ: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)
Đặt mẫu \({x^3} + 1 = 0\) → \(x = - 1\).
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} (2{x^3} - 3x) = 2.{( - 1)^3} - 3.( - 1) = 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} ({x^3} + 1) = {( - 1)^3} + 1 = 0\).
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}} = \infty \).
Vậy hàm số có TCĐ là: \(x = - 1\).
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2 - \frac{3}{x}}}{{1 + \frac{1}{{{x^3}}}}} = 2\).
Vậy hàm số có TCN là: \(y = 2\).
C. \(y = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}\)
TXĐ: \(x \in \left[ { - \infty , - 2} \right] \cup \left[ {2, + \infty } \right]\)
Đặt mẫu \(\sqrt {{x^2} - 4} = 0\) → \(x = - 2;\;x = 2\).
Vậy hàm số có TCĐ là: \(x = - 2;\;x = 2\).
Ta có
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{x\sqrt {1 - \frac{4}{{{x^2}}}} }} = \frac{1}{{\sqrt 1 }} = 1\);
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{x}{{ - x\sqrt {1 - \frac{4}{{{x^2}}}} }} = \frac{1}{{ - \sqrt 1 }} = - 1\).
Vậy hàm số có TCN là: \(y = 1;\;y = - 1\).
Bài tập 6 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều thuộc chương trình học về giới hạn của hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về giới hạn một bên, giới hạn tại một điểm và các tính chất của giới hạn để giải quyết các bài toán cụ thể. Việc nắm vững kiến thức nền tảng và kỹ năng giải bài tập là rất quan trọng để đạt kết quả tốt trong môn Toán 12.
Bài tập 6 bao gồm một số câu hỏi nhỏ, yêu cầu học sinh tính giới hạn của hàm số tại một điểm cho trước. Các hàm số có thể là hàm đa thức, hàm hữu tỉ, hoặc các hàm số khác. Để giải quyết bài tập này, học sinh cần:
Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng câu hỏi trong bài tập 6 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều:
Để giải câu a), ta cần tính giới hạn của hàm số f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) khi x tiến tới 1. Ta có thể phân tích tử số thành (x - 1)(x + 1), sau đó rút gọn biểu thức để được f(x) = x + 1. Khi đó, giới hạn của f(x) khi x tiến tới 1 là 1 + 1 = 2.
Để giải câu b), ta cần tính giới hạn của hàm số g(x) = (x^3 - 8) / (x - 2) khi x tiến tới 2. Ta có thể phân tích tử số thành (x - 2)(x^2 + 2x + 4), sau đó rút gọn biểu thức để được g(x) = x^2 + 2x + 4. Khi đó, giới hạn của g(x) khi x tiến tới 2 là 2^2 + 2*2 + 4 = 12.
Để giải câu c), ta cần tính giới hạn của hàm số h(x) = (sqrt(x) - 2) / (x - 4) khi x tiến tới 4. Ta có thể nhân cả tử và mẫu với liên hợp của tử số là sqrt(x) + 2 để được h(x) = 1 / (sqrt(x) + 2). Khi đó, giới hạn của h(x) khi x tiến tới 4 là 1 / (sqrt(4) + 2) = 1 / 4.
Ngoài bài tập 6, còn rất nhiều bài tập tương tự về giới hạn hàm số. Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần nắm vững các phương pháp sau:
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về giới hạn hàm số, bạn có thể luyện tập thêm với các bài tập sau:
Bài tập 6 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính giới hạn hàm số. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các phương pháp giải được trình bày trong bài viết này, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài tập tương tự và đạt kết quả tốt trong môn Toán 12.
