Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập mục 2 trang 58, 59, 60 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán.
Bài tập trong mục 2 tập trung vào các kiến thức quan trọng của chương trình Toán 12 tập 1.
Các phép toán vecto trong không gian
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 60 SGK Toán 12 Cánh diều
Nêu định nghĩa tích của một số thực \(k \ne 0\;\)với vecto\(\;\vec a\; \ne \vec 0\) trong mặt phẳng.
Lời giải chi tiết:
Cho số thực \(k \ne 0\) và \(vecto\;\vec a \ne \vec 0\). Tích của số k với vecto \(\vec a\) là một vecto, kí hiệu là \(k\vec a,\;\)được xác định như sau:
- Cùng hướng với vecto \(\vec a\) nếu k > 0, ngược hướng với vecto \(\vec a\) nếu k < 0.
- Có độ dài bằng \(\left| k \right|.\left| {\vec a} \right|\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 59 SGK Toán 12 Cánh diều
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tìm liên hệ giữa \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {AC} ;\;\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {AC'} \).
Phương pháp giải:
Áp dụng quy tắc ba điểm.
Lời giải chi tiết:
Áp dụng quy tắc ba điểm ta thấy:
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD} \) (1)
Mà từ hình vẽ ta thấy \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AC} \;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)\)
Từ (1) (2) => \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \)
\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {A'C} \) (3)
Mà \(\overrightarrow {A'C} = \overrightarrow {AC'} \) (4)
Từ (3), (4) suy ra \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 61 SGK Toán 12 Cánh diều
Trong không gian, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài bằng 3cm (hình 12).
a) Tính góc giữa hai vecto \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {A'D'} \).
b) Tính \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right|,\left| {\overrightarrow {A'D'} } \right|\). Cos(\(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {A'D'} \)).
Phương pháp giải:
Áp dụng quy tắc 3 điểm và vectơ trong không gian.
Lời giải chi tiết:
Ta có A’D’//AD.
Góc giữa \(\overrightarrow {AC} \;\)và\(\;\overrightarrow {A'D'} \)= \(\;\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AD} \).
a) Mà ABCD là hình vuông => \(\widehat {CAD} = 45^\circ \)
b) \(\overrightarrow {\left| {AC} \right|} .|\overrightarrow {A'D'|} \) = AC.AD = 3.3 = 9.
cos(\(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {A'D'} \))= cos(\(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} )\)= \(\frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} }}{{\overrightarrow {\left| {AC} \right|} .\overrightarrow {\left| {AD} \right|} }} = \frac{{3.3}}{{3.3}} = 1\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 59 SGK Toán 12 Cánh diều
Trong không gian , cho hai vecto\(\;\vec a,\vec b.\;\) Lấy một điểm M tùy ý.
a) Vẽ \(\overrightarrow {MA} = \vec a,\;\overrightarrow {MB} = \vec b\;,\overrightarrow {MC} = \overrightarrow { - b} \).
b) Tổng của hai vecto \(\vec a\;\)và \(\;\overrightarrow { - b} \) bằng vecto nào trong hình 7.
Phương pháp giải:
Sử dụng quy tắc hình bình hành.
Lời giải chi tiết:
\( \vec{a}\) + (\( - \vec{b}) =\) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MN} \) (quy tắc hình bình hành).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 58 SGK Toán 12 Cánh diều
Trong không gian, cho 2 vec tơ \(\vec a\) và \(\vec b\). Lấy một điểm A tùy ý.
a) Vẽ \(\overrightarrow {AB} \)\( = \vec a\),\(\overrightarrow {BC} \)\( = \vec b\)
b) Tổng của 2 vec tơ \(\vec a\)và\(\vec b\) bằng vec tơ nào trong hình 4?
Phương pháp giải:
a) Ghi rõ các bước để vẽ hình
b) Áp dụng quy tắc 3 điểm \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \)
Lời giải chi tiết:
a)
– Qua A vẽ một đường thẳng song song với \(\vec a\). Trên đường thẳng đó lấy điểm B sao cho \(AB = \left| {\vec a} \right|\) và \(\overrightarrow {AB}\) cùng hướng với \({\vec a}\).
– Qua B vẽ một đường thẳng song song với \(\vec b\). Trên đườ ng thẳng đó lấy điểm C sao cho \(BC = \left| {\vec b} \right|\) và \(\overrightarrow {BC}\) cùng hướng với \({\vec b}\).
b) Ta có: \(\vec a + \vec b = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 61 SGK Toán 12 Cánh diều
Trong không gian, cho hai vecto \(\vec a,\vec b\)khác \(\;\vec 0\). Lấy một điểm O tùy ý.
a) Vẽ hai vecto \(\overrightarrow {OA} = \vec a,\;\overrightarrow {OB} = \vec b\)
b) Khi đó , hai vecto \(\overrightarrow {OA}, \overrightarrow {OB} \) có giá nằm trong cùng mặt phẳng (P) (hình 10). Nếu định nghĩa góc giữa hai vecto \(\overrightarrow {OA}, \;\overrightarrow {OB} \) trong hai mặt phẳng (P).
Lời giải chi tiết:
Trong không gian, cho hai vecto \(\vec a, \vec b\) khác \(\;\vec 0\). Lấy một điểm O tùy ý và vẽ hai vecto\(\;\overrightarrow {OA} = \vec a,\overrightarrow {OB} = \vec b\). Góc giữa hai vecto \(\vec a,\overrightarrow {b\;} \) trong không gian, ký hiệu \(\left( {\vec a,\vec b} \right)\) là góc giữa hai vecto \(\;\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 58 SGK Toán 12 Cánh diều
Trong không gian, cho 2 vec tơ \(\vec a\) và \(\vec b\). Lấy một điểm A tùy ý.
a) Vẽ \(\overrightarrow {AB} \)\( = \vec a\),\(\overrightarrow {BC} \)\( = \vec b\)
b) Tổng của 2 vec tơ \(\vec a\)và\(\vec b\) bằng vec tơ nào trong hình 4?
Phương pháp giải:
a) Ghi rõ các bước để vẽ hình
b) Áp dụng quy tắc 3 điểm \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \)
Lời giải chi tiết:
a)
– Qua A vẽ một đường thẳng song song với \(\vec a\). Trên đường thẳng đó lấy điểm B sao cho \(AB = \left| {\vec a} \right|\) và \(\overrightarrow {AB}\) cùng hướng với \({\vec a}\).
– Qua B vẽ một đường thẳng song song với \(\vec b\). Trên đườ ng thẳng đó lấy điểm C sao cho \(BC = \left| {\vec b} \right|\) và \(\overrightarrow {BC}\) cùng hướng với \({\vec b}\).
b) Ta có: \(\vec a + \vec b = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 59 SGK Toán 12 Cánh diều
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tìm liên hệ giữa \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {AC} ;\;\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {AC'} \).
Phương pháp giải:
Áp dụng quy tắc ba điểm.
Lời giải chi tiết:
Áp dụng quy tắc ba điểm ta thấy:
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD} \) (1)
Mà từ hình vẽ ta thấy \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AC} \;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)\)
Từ (1) (2) => \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \)
\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {A'C} \) (3)
Mà \(\overrightarrow {A'C} = \overrightarrow {AC'} \) (4)
Từ (3), (4) suy ra \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 59 SGK Toán 12 Cánh diều
Trong không gian , cho hai vecto\(\;\vec a,\vec b.\;\) Lấy một điểm M tùy ý.
a) Vẽ \(\overrightarrow {MA} = \vec a,\;\overrightarrow {MB} = \vec b\;,\overrightarrow {MC} = \overrightarrow { - b} \).
b) Tổng của hai vecto \(\vec a\;\)và \(\;\overrightarrow { - b} \) bằng vecto nào trong hình 7.
Phương pháp giải:
Sử dụng quy tắc hình bình hành.
Lời giải chi tiết:
\( \vec{a}\) + (\( - \vec{b}) =\) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MN} \) (quy tắc hình bình hành).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 60 SGK Toán 12 Cánh diều
Nêu định nghĩa tích của một số thực \(k \ne 0\;\)với vecto\(\;\vec a\; \ne \vec 0\) trong mặt phẳng.
Lời giải chi tiết:
Cho số thực \(k \ne 0\) và \(vecto\;\vec a \ne \vec 0\). Tích của số k với vecto \(\vec a\) là một vecto, kí hiệu là \(k\vec a,\;\)được xác định như sau:
- Cùng hướng với vecto \(\vec a\) nếu k > 0, ngược hướng với vecto \(\vec a\) nếu k < 0.
- Có độ dài bằng \(\left| k \right|.\left| {\vec a} \right|\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 61 SGK Toán 12 Cánh diều
Trong không gian, cho hai vecto \(\vec a,\vec b\)khác \(\;\vec 0\). Lấy một điểm O tùy ý.
a) Vẽ hai vecto \(\overrightarrow {OA} = \vec a,\;\overrightarrow {OB} = \vec b\)
b) Khi đó , hai vecto \(\overrightarrow {OA}, \overrightarrow {OB} \) có giá nằm trong cùng mặt phẳng (P) (hình 10). Nếu định nghĩa góc giữa hai vecto \(\overrightarrow {OA}, \;\overrightarrow {OB} \) trong hai mặt phẳng (P).
Lời giải chi tiết:
Trong không gian, cho hai vecto \(\vec a, \vec b\) khác \(\;\vec 0\). Lấy một điểm O tùy ý và vẽ hai vecto\(\;\overrightarrow {OA} = \vec a,\overrightarrow {OB} = \vec b\). Góc giữa hai vecto \(\vec a,\overrightarrow {b\;} \) trong không gian, ký hiệu \(\left( {\vec a,\vec b} \right)\) là góc giữa hai vecto \(\;\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 61 SGK Toán 12 Cánh diều
Trong không gian, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài bằng 3cm (hình 12).
a) Tính góc giữa hai vecto \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {A'D'} \).
b) Tính \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right|,\left| {\overrightarrow {A'D'} } \right|\). Cos(\(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {A'D'} \)).
Phương pháp giải:
Áp dụng quy tắc 3 điểm và vectơ trong không gian.
Lời giải chi tiết:
Ta có A’D’//AD.
Góc giữa \(\overrightarrow {AC} \;\)và\(\;\overrightarrow {A'D'} \)= \(\;\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AD} \).
a) Mà ABCD là hình vuông => \(\widehat {CAD} = 45^\circ \)
b) \(\overrightarrow {\left| {AC} \right|} .|\overrightarrow {A'D'|} \) = AC.AD = 3.3 = 9.
cos(\(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {A'D'} \))= cos(\(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} )\)= \(\frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} }}{{\overrightarrow {\left| {AC} \right|} .\overrightarrow {\left| {AD} \right|} }} = \frac{{3.3}}{{3.3}} = 1\).
Mục 2 của SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều thường xoay quanh các chủ đề về giới hạn của hàm số, đặc biệt là giới hạn tại vô cùng và giới hạn hữu hạn. Việc nắm vững các định nghĩa, tính chất và các phương pháp tính giới hạn là vô cùng quan trọng để giải quyết các bài tập trong mục này.
Trước khi đi vào giải các bài tập cụ thể, chúng ta cần ôn lại một số khái niệm cơ bản:
Có nhiều phương pháp để giải các bài tập về giới hạn, tùy thuộc vào dạng bài tập cụ thể. Một số phương pháp thường được sử dụng:
Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng bài tập trong mục 2 trang 58, 59, 60 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều:
Đề bài: Tính limx→2 (x2 - 4) / (x - 2)
Lời giải:
limx→2 (x2 - 4) / (x - 2) = limx→2 (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = limx→2 (x + 2) = 4
Đề bài: Tính limx→∞ (2x + 1) / (x - 3)
Lời giải:
limx→∞ (2x + 1) / (x - 3) = limx→∞ (2 + 1/x) / (1 - 3/x) = 2/1 = 2
Đề bài: Tính limx→0 sin(3x) / x
Lời giải:
limx→0 sin(3x) / x = 3 * limx→0 sin(3x) / (3x) = 3 * 1 = 3
Hy vọng với lời giải chi tiết và các phương pháp giải được trình bày trên đây, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập về giới hạn trong SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều. Chúc các em học tập tốt!
