Bài 1. Nguyên hàm

Bài 1. Nguyên hàm - SGK Toán 12 Cánh Diều: Tổng quan

Bài 1 trong chương Nguyên hàm của Toán 12 Cánh Diều tập trung vào việc giới thiệu khái niệm nguyên hàm, các tính chất cơ bản và phương pháp tìm nguyên hàm của một số hàm số đơn giản. Đây là nền tảng quan trọng để học sinh tiếp cận tích phân, một trong những chủ đề cốt lõi của giải tích.

1. Khái niệm Nguyên hàm

Một hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng I nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc I. Ký hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C, trong đó C là hằng số tích phân.

2. Các Tính chất của Nguyên hàm

Tính chất 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) với mọi hằng số C.
Tính chất 2: ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
Tính chất 3: ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx (với k là hằng số)

3. Nguyên hàm của một số hàm số cơ bản

Dưới đây là bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:

Hàm số f(x)	Nguyên hàm F(x)
xⁿ (n ≠ -1)	(xⁿ⁺¹)/(n+1) + C
1/x	ln\|x\| + C
e^x	e^x + C
sin(x)	-cos(x) + C
cos(x)	sin(x) + C

4. Phương pháp tìm Nguyên hàm

Để tìm nguyên hàm của một hàm số, ta thường sử dụng các phương pháp sau:

Sử dụng bảng nguyên hàm: Tìm nguyên hàm bằng cách đối chiếu với bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản.
Sử dụng tính chất của nguyên hàm: Biến đổi hàm số cần tìm nguyên hàm về dạng tổng hoặc hiệu của các hàm số cơ bản, sau đó áp dụng tính chất của nguyên hàm.
Sử dụng phương pháp đổi biến: Đặt u = g(x), tính du, và biến đổi tích phân về dạng đơn giản hơn.
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: Áp dụng công thức ∫u dv = uv - ∫v du.

5. Bài tập Vận dụng

Bài 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x² + 2x + 1.

Giải: ∫(3x² + 2x + 1)dx = ∫3x²dx + ∫2xdx + ∫1dx = x³ + x² + x + C

Bài 2: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sin(2x).

Giải: ∫sin(2x)dx. Đặt u = 2x, du = 2dx => dx = du/2. ∫sin(u)du/2 = -1/2 cos(u) + C = -1/2 cos(2x) + C

6. Lưu ý quan trọng

Khi tìm nguyên hàm, đừng quên thêm hằng số tích phân C. Việc kiểm tra lại kết quả bằng cách lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được để xem có bằng hàm số ban đầu hay không là rất quan trọng.

Hy vọng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về Bài 1. Nguyên hàm - SGK Toán 12 Cánh Diều. Chúc các em học tập tốt!