Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Vecto và các phép toán vecto trong không gian, một phần quan trọng của chương trình Toán 12 Cánh Diều. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức nền tảng vững chắc về vecto, các phép toán trên vecto và ứng dụng của chúng trong hình học không gian.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá định nghĩa vecto, các loại vecto, các phép toán cộng, trừ, nhân với một số thực, tích vô hướng, tích có hướng và các ứng dụng thực tế của chúng.
1. Khái niệm vecto trong không gian
1. Khái niệm vecto trong không gian
- Vecto trong không gian là một đoạn thẳng có hướng - Các khái niệm có liên quan đến vecto trong không gian như: giá của vecto, độ dài của vecto, vecto cùang phương, vecto cùng hướng, vecto-không, hai vecto bằng nhau, hai vecto đối nhau, … được phát biểu tương tự như trong mặt phẳng |
2. Các phép toán vecto trong không gian
a) Tổng và hiệu của hai vecto trong không gian
Trong không gian, cho hai vecto \(\mathop a\limits^ \to \) và \(\mathop b\limits^ \to \). Lấy một điểm A bất kì và các điểm B,C sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {BC} = \overrightarrow b \). Khi đó, vecto \(\overrightarrow {AC} \) được gọi là tổng của hai vecto \(\mathop a\limits^ \to \) và \(\mathop b\limits^ \to \), kí hiệu là \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \) - Với 3 điểm A, B, C trong không gian, ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \) (Quy tắc 3 điểm) - Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \) (Quy tắc hình bình hành) - Nếu ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \)(Quy tắc hình hộp) |
Trong không gian, cho hai vecto \(\mathop a\limits^ \to \) và \(\mathop b\limits^ \to \). Hiệu của hai vecto \(\mathop a\limits^ \to \) và \(\mathop b\limits^ \to \) là tổng của hai vecto \(\mathop a\limits^ \to \) và vecto đối của \(\mathop b\limits^ \to \), kí hiệu là \(\mathop a\limits^ \to - \mathop b\limits^ \to \) Với ba điểm O, A, B trong không gian, ta có: \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BA} \) (Quy tắc hiệu) |
b) Tích của một số với một vecto trong không gian
Trong không gian, tích của một số thực \(k \ne 0\) với một vecto \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) là một vecto, kí hiệu là \(k\overrightarrow a \), được xác định như sau: - Cùng hướng với vecto \(\mathop a\limits^ \to \) nếu k > 0; ngược hướng với vecto \(\mathop a\limits^ \to \) nếu k < 0 - Có độ dài bằng \(\left| k \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|\) |
c) Tích vô hướng của hai vecto trong không gian
Trong không gian, cho hai vecto \(\mathop a\limits^ \to \) và \(\mathop b\limits^ \to \) khác \(\mathop 0\limits^ \to \). Lấy một điểm O bất kỳ và gọi A, B là hai điểm sao cho \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \). Khi đó, góc \(\widehat {AOB}({0^ \circ } \le \widehat {AOB} \le {180^ \circ })\) được gọi là góc giữa hai vecto \(\mathop a\limits^ \to \) và \(\mathop b\limits^ \to \), kí hiệu \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\) |
Trong không gian, cho hai vecto \(\mathop a\limits^ \to \) và \(\mathop b\limits^ \to \) khác \(\mathop 0\limits^ \to \). Tích vô hướng của hai vecto \(\mathop a\limits^ \to \) và \(\mathop b\limits^ \to \) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \), được xác định bởi công thức \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\) |
Trong chương trình Toán 12, phần hình học không gian đóng vai trò quan trọng, và vecto là công cụ then chốt để giải quyết các bài toán liên quan. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết về vecto và các phép toán vecto trong không gian, theo chương trình Cánh Diều, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và áp dụng hiệu quả vào giải bài tập.
1. Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Nó được xác định bởi điểm gốc và điểm cuối. Vectơ thường được ký hiệu là AB, trong đó A là điểm gốc và B là điểm cuối.
2. Các loại vectơ:
1. Phép cộng Vectơ:
Quy tắc hình học: Vẽ hai vectơ a và b sao cho chúng có chung điểm gốc. Vectơ tổng a + b là vectơ có điểm gốc là điểm gốc chung và điểm cuối là đỉnh của hình bình hành tạo bởi hai vectơ a và b.
Quy tắc đại số: Nếu a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2) thì a + b = (x1 + x2; y1 + y2; z1 + z2).
2. Phép trừ Vectơ:
Quy tắc hình học: a - b = a + (-b), tức là cộng a với vectơ đối của b.
Quy tắc đại số: Nếu a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2) thì a - b = (x1 - x2; y1 - y2; z1 - z2).
3. Phép nhân Vectơ với một số thực:
Quy tắc: Nếu k là một số thực và a = (x; y; z) thì ka = (kx; ky; kz).
1. Định nghĩa: Tích vô hướng của hai vectơ a và b là một số thực, ký hiệu là a.b, được tính bằng công thức:
a.b = |a||b|cos(θ), trong đó θ là góc giữa hai vectơ a và b.
2. Công thức tính tích vô hướng bằng tọa độ:
Nếu a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2) thì a.b = x1x2 + y1y2 + z1z2.
3. Ứng dụng của tích vô hướng:
1. Định nghĩa: Tích có hướng của hai vectơ a và b là một vectơ, ký hiệu là [a, b], có các đặc điểm sau:
2. Công thức tính tích có hướng bằng tọa độ:
Nếu a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2) thì
[a, b] = (y1z2 - z1y2; z1x2 - x1z2; x1y2 - y1x2).
3. Ứng dụng của tích có hướng:
Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập Toán 12 Cánh Diều. Chú trọng vào việc hiểu rõ bản chất của các phép toán và ứng dụng của chúng trong giải quyết các bài toán hình học không gian.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về Lý thuyết Vecto và các phép toán vecto trong không gian Toán 12 Cánh Diều. Chúc các em học tập tốt!
