Giải bài tập 4 trang 102 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập 4 trang 102 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều. Bài viết này được cung cấp bởi giaibaitoan.com, với mục tiêu hỗ trợ các em học tập và ôn luyện môn Toán hiệu quả.

Chúng tôi sẽ trình bày lời giải từng bước, rõ ràng, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.

Đề bài

Năm 2001, Cộng đồng châu Âu có làm một đợt kiểm tra rất rộng rãi các con bò để phát hiện những con bị bệnh bò điên. Không có xét nghiệm nào cho kết quả chính xác 100%. Một loại xét nghiệm, mà ở đây ta gọi là xét nghiệm A, cho kết quả như sau: khi con bò bị bệnh bò điên thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là 70%, còn khi con bò không bị bệnh thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là 10%. Biết rằng tỉ lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là 13 con trên 1 000 000 con (Nguồn: F. M. Dekking et al., A modern introduction to probability and statistics – Understanding why and how, Springer, 2005). Hỏi khi một con bò ở Hà Lan có phản ứng dương tính với xét nghiệm A thì xác suất để nó bị mắc bệnh bò điên là bao nhiêu?

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 4 trang 102 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều 1

+ Sử dụng kiến thức về công thức xác suất toàn phần để tính: Cho hai biến cố A và B với \(0 < P\left( B \right) < 1\), ta có \(P\left( A \right) = P\left( {A \cap B} \right) + P\left( {A \cap \overline B } \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\).

+ Sử dụng kiến thức về công thức Bayes để tính: Với hai biến cố A, B mà \(P\left( A \right) > 0,P\left( B \right) > 0\), ta có: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\).

Lời giải chi tiết

Xét hai biến cố: A: “Con bò chọn ra bị mắc bệnh bò điên”, B: “Con bò được chọn có phản ứng dương tính với phản ứng A”.

Vì có tỉ lệ bò bị mắc bệnh là 13 con trên 1 000 000 con nên \(P\left( A \right) = 0,000013\). Do đó, \(P\left( {\overline A } \right) = 0,999987\).

Trong số bò bị bệnh thì xác suất để có phản ứng dương tính là 70% nên \(P\left( {B|A} \right) = 0,7\)

Trong số bò không bị bệnh thì xác suất để có phản ứng dương tính là 10% nên \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,1\).

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,000013.0,7 + 0,999987.0,1 = 0,1000078\).

Theo công thức Bayes ta có: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,00013.0,7}}{{0,1000078}} = 0,000091\).

Vậy khi một con bò ở Hà Lan phản ứng dương tính với xét nghiệm A thì xác suất để nó bị điên là 0,000091.

Chinh phục điểm cao Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán, rộng mở cánh cửa Đại học với nội dung Giải bài tập 4 trang 102 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều trong chuyên mục bài tập toán 12 trên nền tảng môn toán! Bộ bài tập toán trung học phổ thông, được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, cam kết tối ưu hóa toàn diện lộ trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn trang bị chiến thuật làm bài hiệu quả, tự tin đạt kết quả đột phá, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vững vàng vào đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, khoa học và mang lại hiệu quả học tập vượt trội.

Giải bài tập 4 trang 102 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều: Tổng quan

Bài tập 4 trang 102 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều thuộc chương trình học về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để tìm cực trị của hàm số, từ đó xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước.

Nội dung bài tập 4

Bài tập 4 thường có dạng như sau: Cho hàm số y = f(x). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng (a, b).

Phương pháp giải bài tập 4

Bước 1: Tính đạo hàm f'(x). Đây là bước quan trọng để xác định các điểm cực trị của hàm số.
Bước 2: Tìm các điểm cực trị. Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm x mà tại đó đạo hàm bằng 0. Các điểm này là các điểm cực trị của hàm số.
Bước 3: Xác định loại cực trị. Sử dụng dấu của đạo hàm cấp hai f''(x) hoặc xét dấu của f'(x) xung quanh các điểm cực trị để xác định xem đó là điểm cực đại hay cực tiểu.
Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các đầu mút của khoảng (a, b).
Bước 5: So sánh các giá trị vừa tính được để tìm ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng (a, b).

Ví dụ minh họa

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x³ - 3x² + 2 trên khoảng [-1, 3].

Tính đạo hàm: y' = 3x² - 6x
Tìm điểm cực trị: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
Xác định loại cực trị: y'' = 6x - 6. Tại x = 0, y'' = -6 < 0 => x = 0 là điểm cực đại. Tại x = 2, y'' = 6 > 0 => x = 2 là điểm cực tiểu.
Tính giá trị hàm số:
- y(-1) = (-1)³ - 3(-1)² + 2 = -2
- y(0) = 0³ - 3(0)² + 2 = 2
- y(2) = 2³ - 3(2)² + 2 = -2
- y(3) = 3³ - 3(3)² + 2 = 2
Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng [-1, 3] là 2 (tại x = 0 và x = 3). Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng [-1, 3] là -2 (tại x = -1 và x = 2).

Lưu ý khi giải bài tập

Luôn kiểm tra xem các điểm cực trị có nằm trong khoảng đang xét hay không. Nếu không, ta không cần tính giá trị của hàm số tại các điểm đó.
Chú ý đến các trường hợp đặc biệt, chẳng hạn như hàm số không có đạo hàm tại một số điểm.
Sử dụng máy tính cầm tay để tính toán nhanh chóng và chính xác.