Lý thuyết Tính đơn điệu của hàm số Toán 12 Cánh Diều

Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Tính đơn điệu của hàm số trong chương trình Toán 12 Cánh Diều.

Đây là một trong những chủ đề quan trọng giúp bạn hiểu sâu hơn về tính chất của hàm số và ứng dụng trong giải quyết các bài toán thực tế.

Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá các khái niệm, định lý và phương pháp để xác định tính đơn điệu của hàm số một cách hiệu quả.

1.Nhận biết tính đơn điệu của hàm số bằng dấu của đạo hàm

1.Nhận biết tính đơn điệu của hàm số bằng dấu của đạo hàm

Định lý 1

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên tập \(K \subset R\), trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng

- Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K

- Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K

Ví dụ: Hàm số y = |x| đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\)

Định lý 2

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên tập \(K \subset R\), trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng. Nếu f’(x) \( \ge \) 0 (hoặc f’(x) \( \le \) 0) với mọi x thuộc K và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm của K thì hàm số f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K

Ví dụ: Hàm số \(y = {x^2} - 4x + 2\) có y’ = 2x – 4

y’ > 0 với \(x \in (2; + \infty )\) nên HS đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)

y’ < 0 với \(x \in ( - \infty ;2)\) nên HS đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\)

2. Điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số

Khái niệm cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập \(K \subset R\), trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng và \({x_0} \in K,{x_1} \in K\)

- \({x_0}\) được gọi là một điểm cực đại của hàm số đã cho nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) sao cho (a;b) \( \subset \) K và \(f(x) < f({x_0})\) với mọi \(x \in (a;b)\) và \(x \ne {x_0}\). Khi đó, \(f({x_0})\) được gọi là giá trị cực đại của hàm số đã cho, kí hiệu là

- \({x_1}\) được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số đã cho nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) sao cho (c;d) \( \subset \) K và \(f(x) > f({x_1})\) với mọi \(x \in (c;d)\) và \(x \ne {x_1}\). Khi đó, \(f({x_1})\) được gọi là giá trị cực đại của hàm số đã cho, kí hiệu là \({f_{CT}}\)

Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị)

Ví dụ: Cho đồ thị của hàm số y = f(x) như sau

Lý thuyết Tính đơn điệu của hàm số Toán 12 Cánh Diều 1

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và \({y_{CT}}\)= y(-1) = 2

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và = y(0) = 3

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và \({y_{CT}}\)= y(1) = 2

Định lý

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) và có đạo hàm trên các khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0};b} \right)\). Khi đó:

a) Nếu f’(x) < 0 với mọi \(x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) > 0 với mọi \(x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm \({x_0}\)

b) Nếu f’(x) > 0 với mọi \(x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) < 0 với mọi \(x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm \({x_0}\)

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 30\).

Tập xác định của hàm số là R.

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 12x + 9\); y’ = 0 \( \Leftrightarrow \)x = 1 hoặc x = 3.

BBT:

Lý thuyết Tính đơn điệu của hàm số Toán 12 Cánh Diều 2

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và = y(1) = 34

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và \({y_{CT}}\)= y(3) = 30

Lý thuyết Tính đơn điệu của hàm số Toán 12 Cánh Diều 3

Chinh phục điểm cao Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán, rộng mở cánh cửa Đại học với nội dung Lý thuyết Tính đơn điệu của hàm số Toán 12 Cánh Diều trong chuyên mục bài toán lớp 12 trên nền tảng soạn toán! Bộ bài tập toán trung học phổ thông, được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, cam kết tối ưu hóa toàn diện lộ trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn trang bị chiến thuật làm bài hiệu quả, tự tin đạt kết quả đột phá, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vững vàng vào đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, khoa học và mang lại hiệu quả học tập vượt trội.

Lý thuyết Tính đơn điệu của hàm số Toán 12 Cánh Diều

Tính đơn điệu của hàm số là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán 12, đặc biệt là trong chương trình Cánh Diều. Hiểu rõ lý thuyết này giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số một cách hiệu quả và chính xác.

1. Khái niệm về hàm số đơn điệu

Một hàm số f(x) được gọi là đồng biến trên một khoảng I nếu với mọi x₁, x₂ thuộc I, sao cho x₁ < x₂ thì f(x₁) ≤ f(x₂). Hàm số được gọi là nghịch biến trên một khoảng I nếu với mọi x₁, x₂ thuộc I, sao cho x₁ < x₂ thì f(x₁) ≥ f(x₂).

2. Điều kiện để hàm số đơn điệu

Để xét tính đơn điệu của hàm số, chúng ta thường sử dụng đạo hàm của hàm số. Cụ thể:

Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc khoảng I thì hàm số f(x) đồng biến trên I.
Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc khoảng I thì hàm số f(x) nghịch biến trên I.
Nếu f'(x) = 0 với mọi x thuộc khoảng I thì hàm số f(x) không đơn điệu trên I.

3. Các bước xét tính đơn điệu của hàm số

Tìm tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm f'(x).
Tìm các điểm mà f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.
Xét dấu của f'(x) trên các khoảng xác định.
Kết luận về tính đơn điệu của hàm số trên các khoảng đó.

4. Ví dụ minh họa

Xét hàm số f(x) = x². Ta có f'(x) = 2x.

Khi x < 0, f'(x) < 0, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞, 0).
Khi x > 0, f'(x) > 0, do đó hàm số đồng biến trên khoảng (0, +∞).

5. Ứng dụng của lý thuyết tính đơn điệu

Lý thuyết tính đơn điệu có nhiều ứng dụng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số, chẳng hạn như:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Giải các phương trình và bất phương trình.
Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số.

6. Mở rộng về tính đơn điệu trên các khoảng khác nhau

Đôi khi, hàm số có thể đồng biến trên một khoảng và nghịch biến trên một khoảng khác. Trong trường hợp này, chúng ta cần xét tính đơn điệu trên từng khoảng riêng biệt.

7. Lưu ý quan trọng

Khi xét tính đơn điệu của hàm số, cần chú ý đến tập xác định của hàm số và các điểm mà đạo hàm không xác định. Những điểm này có thể là điểm không liên tục hoặc điểm có tiếp tuyến thẳng đứng.