Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập mục 3 trang 76, 77, 78 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán.
Bài tập trong mục này tập trung vào các kiến thức quan trọng của chương trình Toán 12 tập 1, đòi hỏi các em phải có sự hiểu biết sâu sắc về lý thuyết và kỹ năng vận dụng linh hoạt.
Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Đề bài
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 76 SGK Toán 12 Cánh diều
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vecto \(\overrightarrow u = ({x_1};{y_1};{z_1})\) và \(\overrightarrow v = ({x_2};{y_2};{z_2})\). Hãy biểu diễn các vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) theo ba vecto đơn vị \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) và tính tích vô hướng \(\overrightarrow u .\overrightarrow v \)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng công thức tính tích vô hướng của 2 vecto: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = |\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |.\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b )\)
Lời giải chi tiết
\(\overrightarrow u = ({x_1};{y_1};{z_1}) = {x_1}\overrightarrow i + {y_1}\overrightarrow j + {z_1}\overrightarrow k \)
\(\overrightarrow v = ({x_2};{y_2};{z_2}) = {x_2}\overrightarrow i + {y_2}\overrightarrow j + {z_2}\overrightarrow k \)
Ta có: \({\overrightarrow i ^2} = \overrightarrow i .\overrightarrow i = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow i |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow i ) = 1.1.\cos 0^\circ = 1\)
\({\overrightarrow j ^2} = \overrightarrow j .\overrightarrow j = |\overrightarrow j |.|\overrightarrow j |.\cos (\overrightarrow j ,\overrightarrow j ) = 1.1.\cos 0^\circ = 1\)
\({\overrightarrow k ^2} = \overrightarrow k .\overrightarrow k = |\overrightarrow k |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow k ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 0^\circ = 1\)
\(\overrightarrow i .\overrightarrow j = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow j |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow j ) = 1.1.\cos 90^\circ = 0\)
\(\overrightarrow j .\overrightarrow k = |\overrightarrow j |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow j ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 90^\circ = 0\)
\(\overrightarrow i .\overrightarrow k = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 90^\circ = 0\)
Vậy: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = ({x_1}\overrightarrow i + {y_1}\overrightarrow j + {z_1}\overrightarrow k ).({x_2}\overrightarrow i + {y_2}\overrightarrow j + {z_2}\overrightarrow k )\)
\( = {x_1}{x_2}{\overrightarrow i ^2} + {x_1}{y_2}\overrightarrow i .\overrightarrow j + {x_1}{z_2}\overrightarrow i .\overrightarrow k + {y_1}{x_2}\overrightarrow i .\overrightarrow j + {y_1}{y_2}{\overrightarrow j ^2} + {y_1}{z_2}\overrightarrow j .\overrightarrow k + {z_1}{x_2}\overrightarrow i .\overrightarrow k + {z_1}{y_2}\overrightarrow j .\overrightarrow k + {z_1}{z_2}{\overrightarrow k ^2}\)
\( = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}\)
Mục 3 trong SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều thường xoay quanh các chủ đề về giới hạn của hàm số, đặc biệt là giới hạn tại vô cùng và giới hạn hữu hạn. Việc nắm vững các định nghĩa, tính chất và các phương pháp tính giới hạn là vô cùng quan trọng để giải quyết các bài tập trong mục này.
Trước khi đi vào giải bài tập cụ thể, chúng ta cần ôn lại một số khái niệm cơ bản về giới hạn:
Có nhiều phương pháp để tính giới hạn, tùy thuộc vào dạng của hàm số. Một số phương pháp phổ biến bao gồm:
Bài 1 (Trang 76): Tính các giới hạn sau: a) lim (x→2) (x^2 - 4) / (x - 2) b) lim (x→∞) (2x + 1) / (x - 3)
Lời giải:
a) lim (x→2) (x^2 - 4) / (x - 2) = lim (x→2) (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = lim (x→2) (x + 2) = 4
b) lim (x→∞) (2x + 1) / (x - 3) = lim (x→∞) (2 + 1/x) / (1 - 3/x) = 2/1 = 2
Bài 2 (Trang 77): Tính các giới hạn sau: a) lim (x→0) sin(x) / x b) lim (x→1) (x^3 - 1) / (x - 1)
Lời giải:
a) lim (x→0) sin(x) / x = 1 (Đây là giới hạn lượng giác cơ bản)
b) lim (x→1) (x^3 - 1) / (x - 1) = lim (x→1) (x - 1)(x^2 + x + 1) / (x - 1) = lim (x→1) (x^2 + x + 1) = 3
Bài 3 (Trang 78): Cho hàm số f(x) = (x^2 - 1) / (x + 1). Tính lim (x→-1) f(x).
Lời giải:
lim (x→-1) f(x) = lim (x→-1) (x^2 - 1) / (x + 1) = lim (x→-1) (x - 1)(x + 1) / (x + 1) = lim (x→-1) (x - 1) = -2
Việc giải bài tập mục 3 trang 76,77,78 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều đòi hỏi sự nắm vững kiến thức về giới hạn và khả năng vận dụng linh hoạt các phương pháp tính giới hạn. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, các em sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán về giới hạn.
