Bài 2. Phương trình đường thẳng

Bài 2 trong chương 5 sách Toán 12 tập 2 Cánh diều tập trung vào việc xây dựng và ứng dụng phương trình đường thẳng trong không gian. Đây là một phần kiến thức quan trọng, nền tảng cho việc học tập các chủ đề phức tạp hơn trong hình học không gian.

1. Các dạng phương trình đường thẳng trong không gian

Có ba dạng phương trình đường thẳng phổ biến trong không gian Oxyz:

Phương trình tham số: { x = x₀ + at; y = y₀ + bt; z = z₀ + ct }, trong đó (x₀, y₀, z₀) là một điểm thuộc đường thẳng và (a, b, c) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng.
Phương trình chính tắc: (x - x₀)/a = (y - y₀)/b = (z - z₀)/c, với điều kiện a, b, c khác 0.
Phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và một điểm: Đường thẳng được xác định bởi giao của hai mặt phẳng.

2. Cách xác định phương trình đường thẳng

Để xác định phương trình đường thẳng, ta cần biết:

Một điểm thuộc đường thẳng.
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Nếu đề bài cho hai điểm thuộc đường thẳng, ta có thể tìm vectơ chỉ phương bằng cách lấy hiệu tọa độ của hai điểm đó.

3. Mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng

Có ba trường hợp xảy ra:

Đường thẳng song song với mặt phẳng: Vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Vectơ chỉ phương của đường thẳng cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Đường thẳng cắt mặt phẳng: Đường thẳng không song song và không vuông góc với mặt phẳng.

4. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương u = (2; -1; 1).

Giải: Phương trình tham số của đường thẳng là: { x = 1 + 2t; y = 2 - t; z = 3 + t }.

Ví dụ 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d: (x - 1)/2 = (y + 1)/3 = (z - 2)/1 và mặt phẳng (P): x + 2y - z + 1 = 0.

Giải: Từ phương trình đường thẳng, ta có x = 1 + 2t, y = -1 + 3t, z = 2 + t. Thay vào phương trình mặt phẳng, ta được: (1 + 2t) + 2(-1 + 3t) - (2 + t) + 1 = 0. Giải phương trình này, ta tìm được t = 0. Vậy giao điểm là (1; -1; 2).