Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Phương trình đường thẳng trong chương trình Toán 12 Cánh Diều. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng nhất về phương trình đường thẳng, giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về các dạng phương trình đường thẳng, cách xác định đường thẳng, và các ứng dụng thực tế của phương trình đường thẳng trong không gian tọa độ.
1. Phương trình đường thẳng a) Vecto chỉ phương của đường thẳng
1. Phương trình đường thẳng
a) Vecto chỉ phương của đường thẳng
| Vecto \(\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 \) được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) nếu giá của \(\overrightarrow u \) song song hoặc trùng với \(\Delta \). |
b) Phương trình tham số của đường thẳng
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (a;b;c)\). Hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) (t là tham số, \(t \in R\)). |
c) Phương trình chính tắc của đường thẳng
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (a;b;c)\) với a, b, c là các số khác 0. Hệ phương trình \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \). |
d) Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm phân biệt \({A_1}({x_1};{y_1};{z_1})\) và \({A_2}({x_2};{y_2};{z_2})\). Đường thẳng \({A_1}{A_2}\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} = ({x_2} - {x_1};{y_2} - {y_1};{z_2} - {z_1})\). - Đường thẳng \({A_1}{A_2}\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_1} + ({x_2} - {x_1})t\\y = {y_1} + ({y_2} - {y_1})t\\z = {z_1} + ({z_2} - {z_1})t\end{array} \right.\) \((t \in R)\). - Trong trường hợp \({x_1} \ne {x_2},{y_1} \ne {y_2},{z_1} \ne {z_2}\) thì đường thẳng \({A_1}{A_2}\) có phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - {x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{y_2} - {y_1}}} = \frac{{z - {z_1}}}{{{z_2} - {z_1}}}\). |
2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt đi qua các điểm \({A_1}({x_1};{y_1};{z_1})\), \({A_2}({x_2};{y_2};{z_2})\) và tương ứng có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} ({x_1};{y_1};{z_1})\), \(\overrightarrow {{u_2}} ({x_2};{y_2};{z_2})\). Khi đó: + \({\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1} \notin {\Delta _2}\). + \({\Delta _1} \equiv {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1} \in {\Delta _2}\). + \({\Delta _1},{\Delta _2}\) cắt nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {{A_1}{A_2}} \bot \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {{A_1}{A_2}} \cdot \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\end{array} \right.\). + \({\Delta _1},{\Delta _2}\) chéo nhau \( \Leftrightarrow \overrightarrow {{A_1}{A_2}} \cdot \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0\). |
3. Góc
a) Góc giữa hai đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) có vecto chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} ({a_1};{b_1};{c_1})\), \(\overrightarrow {{u_2}} ({a_2};{b_2};{c_2})\). Khi đó, ta có: \(\cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}\) |
b) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) có vecto chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow u ({a_1};{b_1};{c_1})\) và mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n ({a_2};{b_2};{c_2})\). Gọi \((\Delta ,(P))\) là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P). Khi đó, ta có: \(\sin (\Delta ,(P)) = \left| {\cos (\overrightarrow u ,\overrightarrow n )} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}\) |
c) Góc giữa hai mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng \(({P_1}),({P_2})\) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó, kí hiệu là \(\left( {({P_1}),({P_2})} \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(({P_1}),({P_2})\) có vecto pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} ({A_1};{B_1};{C_1})\), \(\overrightarrow {{n_2}} ({A_2};{B_2};{C_2})\). Khi đó, ta có: \(\cos \left( {({P_1}),({P_2})} \right) = \frac{{\left| {{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2}} \right|}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} .\sqrt {A_2^2 + B_2^2 + C_2^2} }}\) |
Phương trình đường thẳng là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong hình học giải tích lớp 12. Việc nắm vững lý thuyết này là nền tảng để giải quyết các bài toán liên quan đến đường thẳng, khoảng cách, và các bài toán ứng dụng khác.
Có ba dạng phương trình đường thẳng thường được sử dụng:
Có nhiều cách để xác định một đường thẳng:
Có thể chuyển đổi giữa các dạng phương trình đường thẳng:
Phương trình đường thẳng có nhiều ứng dụng trong thực tế:
Ví dụ 1: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1, 2) và có vectơ chỉ phương a = (3, -1).
Giải: Phương trình tham số của đường thẳng là:
Ví dụ 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm B(-2, 3) và có vectơ pháp tuyến n = (1, -2).
Giải: Phương trình tổng quát của đường thẳng là:
1(x + 2) - 2(y - 3) = 0 ⇔ x - 2y + 8 = 0
Lý thuyết Phương trình đường thẳng Toán 12 Cánh Diều là một phần quan trọng của chương trình học. Việc nắm vững các khái niệm, công thức, và phương pháp giải bài tập liên quan đến phương trình đường thẳng sẽ giúp bạn đạt kết quả tốt trong các kỳ thi và ứng dụng kiến thức vào thực tế.
