Bài 1. Tính đơn điệu của hàm số

Bài 1 trong chương 1 của sách Toán 12 tập 1 Cánh diều tập trung vào việc nghiên cứu tính đơn điệu của hàm số. Đây là một phần quan trọng trong quá trình khảo sát hàm số, giúp ta hiểu rõ hơn về sự biến thiên của hàm số trên các khoảng xác định.

I. Khái niệm về tính đơn điệu của hàm số

Một hàm số f(x) được gọi là đồng biến trên một khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2, ta có f(x1) ≤ f(x2). Hàm số được gọi là nghịch biến trên một khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2, ta có f(x1) ≥ f(x2).

II. Điều kiện để hàm số đơn điệu

Để xác định tính đơn điệu của hàm số, ta sử dụng đạo hàm của hàm số. Cụ thể:

Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc khoảng (a, b) thì hàm số f(x) đồng biến trên (a, b).
Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc khoảng (a, b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên (a, b).
Nếu f'(x) = 0 với mọi x thuộc khoảng (a, b) thì hàm số f(x) không đơn điệu trên (a, b).

III. Ví dụ minh họa

Xét hàm số f(x) = x². Ta có f'(x) = 2x.

Trên khoảng (0, +∞), f'(x) > 0, do đó hàm số f(x) đồng biến trên (0, +∞).
Trên khoảng (-∞, 0), f'(x) < 0, do đó hàm số f(x) nghịch biến trên (-∞, 0).

IV. Bài tập áp dụng

Hãy xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

f(x) = x³ - 3x² + 2
f(x) = sin(x)
f(x) = e^x

V. Lưu ý quan trọng

Khi xét tính đơn điệu của hàm số, cần chú ý đến tập xác định của hàm số và các điểm không xác định của đạo hàm. Ngoài ra, cần phân biệt rõ giữa đồng biến và nghịch biến. Đồng biến nghĩa là hàm số tăng khi x tăng, còn nghịch biến nghĩa là hàm số giảm khi x tăng.

VI. Mở rộng kiến thức

Tính đơn điệu của hàm số có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học và khoa học kỹ thuật. Ví dụ, trong kinh tế học, tính đơn điệu của hàm số cung cầu giúp ta dự đoán sự thay đổi của giá cả và sản lượng. Trong vật lý học, tính đơn điệu của hàm số vận tốc giúp ta xác định các khoảng thời gian vật thể tăng tốc hoặc giảm tốc.

VII. Kết luận

Bài 1. Tính đơn điệu của hàm số là nền tảng quan trọng để hiểu và giải quyết các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số. Việc nắm vững các khái niệm, định lý và phương pháp giải bài tập trong bài học này sẽ giúp bạn tự tin hơn trong việc học tập và nghiên cứu toán học.