Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 tập 1 của giaibaitoan.com. Ở bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau giải chi tiết các bài tập trong mục 1 trang 5, 6, 7 sách giáo khoa Toán 12 tập 1 - Cánh diều. Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em hiểu rõ kiến thức, nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Nhận biết tính đơn điệu của hàm số bằng dấu của đạo hàm
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 7 SGK Toán 12 Cánh diều
a) Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3}\).
b) Xét dấu của đạo hàm \(f'\left( x \right) = 3{x^2}\).
c) Phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có bao nhiêu nghiệm ?
Phương pháp giải:
Dựa vào định nghĩa đồng biến, nghịch biến của hàm số và các bước xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Lời giải chi tiết:
a) Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = 3{x^2}\).
Xét \(y' = 0 \Rightarrow x = 0\).
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
b) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đạo hàm \(y' = 3{x^2}\) luôn dương với mọi x.
c) Phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có một nghiệm.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 5 SGK Toán 12 Cánh diều
a) Nêu định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến trên tập \(K \subset \mathbb{R}\), trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.
b) Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2}\) có đồ thị như Hình 2.
- Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số đó.
- Xét dấu đạo hàm \(f'\left( x \right) = 2x\).
- Nêu mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\) và dấu của đạo hàm \(f'\left( x \right) = 2x\) trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right),\left( {0; + \infty } \right)\).
- Hoàn thành bảng biến thiên sau:
Phương pháp giải:
Dựa vào định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập K
Lời giải chi tiết:
a) Cho K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và \(f\left( x \right)\) là hàm số xác định trên K.
- Hàm số \(f\left( x \right)\) được gọi là hàm số đồng biến trên K nếu với mọi \({x_1},{x_2}\) thuộc K và \({x_1} < {x_2}\) thì \(f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\).
- Hàm số \(f\left( x \right)\) được gọi là hàm số đồng biến trên K nếu với mọi \({x_1},{x_2}\) thuộc K và \({x_1} < {x_2}\) thì \(f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\).
- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K còn được gọi là hàm số đơn điệu trên K.
b)
- Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
- Đạo hàm \(f'\left( x \right) = 2x\)âm khi \(x < 0\) và dương khi \(x > 0\).
- Hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2}\) nghịch biến khi \(f'\left( x \right) = 2x\)mang dấu âm và đồng biến khi \(f'\left( x \right) = 2x\) mang dấu dương.
- Ta có bàng biến thiên sau:
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 7 SGK Toán 12 Cánh diều
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y = {x^4} + 2{x^2} - 3\).
Phương pháp giải:
B1: Tìm tập xác định của hàm số.
B2: Tính \(y'\). Tìm các điểm mà tại đó \(y' = 0\) hoặc \(y'\) không tồn tại.
B3: Lập bảng biến thiên của hàm số.
B4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = 4{x^3} + 4x\).
Xét \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
Ta có bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 7 SGK Toán 12 Cánh diều
Chứng minh rằng hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} \) nghịch biến trên nửa khoảng \(( - \infty ;0]\) và đồng biến trên nửa khoảng \([0; + \infty )\).
Phương pháp giải:
B1: Tìm tập xác định của hàm số.
B2: Tính \(y'\). Tìm các điểm mà tại đó \(y' = 0\) hoặc \(y'\) không tồn tại.
B3: Lập bảng biến thiên của hàm số.
B4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).
Xét \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
Ta có bảng biến thiên:
Vậy hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} \) nghịch biến trên nửa khoảng \(( - \infty ;0]\) và đồng biến trên nửa khoảng \([0; + \infty )\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 8 SGK Toán 12 Cánh diều
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số sau \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}\).
Phương pháp giải:
B1: Tìm tập xác định của hàm số.
B2: Tính \(y'\). Tìm các điểm mà tại đó \(y' = 0\) hoặc \(y'\) không tồn tại.
B3: Lập bảng biến thiên của hàm số.
B4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).
Ta có: \(y' = \frac{5}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
Nhận xét: \(y' > 0\) với mọi \(x \in D\).
Ta có bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 6 SGK Toán 12 Cánh diều
Xét dấu \(y'\) rồi tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số\(y = \frac{4}{3}{x^3} - 2{x^2} + x - 1\).
Phương pháp giải:
B1: Tính \(y'\)rồi lập bảng xét dấu của \(y'\).
B2. Dựa vào bảng xét dấu của \(y'\) để nhận xét khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = 4{x^2} - 4x + 1\).
Xét \(y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\).
Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 5 SGK Toán 12 Cánh diều
a) Nêu định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến trên tập \(K \subset \mathbb{R}\), trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.
b) Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2}\) có đồ thị như Hình 2.
- Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số đó.
- Xét dấu đạo hàm \(f'\left( x \right) = 2x\).
- Nêu mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\) và dấu của đạo hàm \(f'\left( x \right) = 2x\) trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right),\left( {0; + \infty } \right)\).
- Hoàn thành bảng biến thiên sau:
Phương pháp giải:
Dựa vào định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập K
Lời giải chi tiết:
a) Cho K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và \(f\left( x \right)\) là hàm số xác định trên K.
- Hàm số \(f\left( x \right)\) được gọi là hàm số đồng biến trên K nếu với mọi \({x_1},{x_2}\) thuộc K và \({x_1} < {x_2}\) thì \(f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\).
- Hàm số \(f\left( x \right)\) được gọi là hàm số đồng biến trên K nếu với mọi \({x_1},{x_2}\) thuộc K và \({x_1} < {x_2}\) thì \(f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\).
- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K còn được gọi là hàm số đơn điệu trên K.
b)
- Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
- Đạo hàm \(f'\left( x \right) = 2x\)âm khi \(x < 0\) và dương khi \(x > 0\).
- Hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2}\) nghịch biến khi \(f'\left( x \right) = 2x\)mang dấu âm và đồng biến khi \(f'\left( x \right) = 2x\) mang dấu dương.
- Ta có bàng biến thiên sau:
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 6 SGK Toán 12 Cánh diều
Xét dấu \(y'\) rồi tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số\(y = \frac{4}{3}{x^3} - 2{x^2} + x - 1\).
Phương pháp giải:
B1: Tính \(y'\)rồi lập bảng xét dấu của \(y'\).
B2. Dựa vào bảng xét dấu của \(y'\) để nhận xét khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = 4{x^2} - 4x + 1\).
Xét \(y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\).
Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 7 SGK Toán 12 Cánh diều
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y = {x^4} + 2{x^2} - 3\).
Phương pháp giải:
B1: Tìm tập xác định của hàm số.
B2: Tính \(y'\). Tìm các điểm mà tại đó \(y' = 0\) hoặc \(y'\) không tồn tại.
B3: Lập bảng biến thiên của hàm số.
B4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = 4{x^3} + 4x\).
Xét \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
Ta có bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 7 SGK Toán 12 Cánh diều
a) Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3}\).
b) Xét dấu của đạo hàm \(f'\left( x \right) = 3{x^2}\).
c) Phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có bao nhiêu nghiệm ?
Phương pháp giải:
Dựa vào định nghĩa đồng biến, nghịch biến của hàm số và các bước xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Lời giải chi tiết:
a) Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = 3{x^2}\).
Xét \(y' = 0 \Rightarrow x = 0\).
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
b) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đạo hàm \(y' = 3{x^2}\) luôn dương với mọi x.
c) Phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có một nghiệm.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 7 SGK Toán 12 Cánh diều
Chứng minh rằng hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} \) nghịch biến trên nửa khoảng \(( - \infty ;0]\) và đồng biến trên nửa khoảng \([0; + \infty )\).
Phương pháp giải:
B1: Tìm tập xác định của hàm số.
B2: Tính \(y'\). Tìm các điểm mà tại đó \(y' = 0\) hoặc \(y'\) không tồn tại.
B3: Lập bảng biến thiên của hàm số.
B4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).
Xét \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
Ta có bảng biến thiên:
Vậy hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} \) nghịch biến trên nửa khoảng \(( - \infty ;0]\) và đồng biến trên nửa khoảng \([0; + \infty )\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 8 SGK Toán 12 Cánh diều
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số sau \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}\).
Phương pháp giải:
B1: Tìm tập xác định của hàm số.
B2: Tính \(y'\). Tìm các điểm mà tại đó \(y' = 0\) hoặc \(y'\) không tồn tại.
B3: Lập bảng biến thiên của hàm số.
B4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).
Ta có: \(y' = \frac{5}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
Nhận xét: \(y' > 0\) với mọi \(x \in D\).
Ta có bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).
Mục 1 của chương trình Toán 12 tập 1 - Cánh diều tập trung vào việc ôn tập và hệ thống hóa kiến thức về hàm số và đồ thị. Đây là nền tảng quan trọng để học sinh tiếp cận các kiến thức nâng cao hơn trong chương trình. Việc nắm vững các khái niệm, định lý và phương pháp giải bài tập trong mục này là vô cùng cần thiết.
Bài 1 yêu cầu học sinh xác định tập xác định của hàm số. Để giải bài này, cần nắm vững điều kiện xác định của các hàm số cơ bản như hàm phân thức, hàm căn bậc hai, hàm logarit. Ví dụ, với hàm số y = 1/(x-2), tập xác định là D = R \ {2}.
Bài 2 tập trung vào việc xét tính đơn điệu của hàm số. Để giải bài này, cần sử dụng đạo hàm của hàm số. Nếu đạo hàm f'(x) > 0 trên một khoảng, hàm số đồng biến trên khoảng đó. Nếu đạo hàm f'(x) < 0 trên một khoảng, hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
Bài 3 yêu cầu học sinh tìm cực trị của hàm số. Để giải bài này, cần tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại. Sau đó, xét dấu của đạo hàm để xác định xem đó là điểm cực đại hay cực tiểu.
Xét hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Để tìm cực trị của hàm số, ta thực hiện các bước sau:
Học Toán 12 đòi hỏi sự kiên trì và nỗ lực. Hãy dành thời gian ôn tập lý thuyết, luyện tập bài tập và tìm kiếm sự giúp đỡ khi gặp khó khăn. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao!
