giaibaitoan.com - Giải Bài 2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp - SGK Toán 12

Bài 2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp - SGK Toán 12 - Cánh diều

Bài 2 trong chương 4 của sách Toán 12 tập 2, Cánh diều, tập trung vào việc tìm hiểu nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp. Đây là một bước quan trọng trong việc làm quen với tích phân, một khái niệm nền tảng trong giải tích.

I. Khái niệm Nguyên hàm

Nguyên hàm của một hàm số f(x) là một hàm số F(x) sao cho đạo hàm của F(x) bằng f(x), tức là F'(x) = f(x). Ký hiệu nguyên hàm của f(x) là ∫f(x)dx = F(x) + C, trong đó C là hằng số tích phân.

II. Các quy tắc tìm nguyên hàm cơ bản

Nguyên hàm của hàm lũy thừa: ∫xⁿdx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C (với n ≠ -1)
Nguyên hàm của hàm nghịch đảo: ∫(1/x)dx = ln|x| + C
Nguyên hàm của hàm mũ: ∫e^xdx = e^x + C
Nguyên hàm của hàm sin: ∫sin(x)dx = -cos(x) + C
Nguyên hàm của hàm cos: ∫cos(x)dx = sin(x) + C
Nguyên hàm của hàm tan: ∫tan(x)dx = -ln|cos(x)| + C

III. Giải bài tập trong SGK Toán 12 - Cánh diều

Dưới đây là giải chi tiết các bài tập trong Bài 2, SGK Toán 12 - Cánh diều:

Bài 2.1

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) f(x) = 2x³ - 5x + 1
b) f(x) = 3x² + 2x - 7
c) f(x) = 1/x - 4

Giải:

a) ∫(2x³ - 5x + 1)dx = 2∫x³dx - 5∫xdx + ∫dx = 2(x⁴/4) - 5(x²/2) + x + C = x⁴/2 - 5x²/2 + x + C
b) ∫(3x² + 2x - 7)dx = 3∫x²dx + 2∫xdx - 7∫dx = 3(x³/3) + 2(x²/2) - 7x + C = x³ + x² - 7x + C
c) ∫(1/x - 4)dx = ∫(1/x)dx - 4∫dx = ln|x| - 4x + C

Bài 2.2

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) f(x) = sin(x) + cos(x)
b) f(x) = e^x - 2

Giải:

a) ∫(sin(x) + cos(x))dx = ∫sin(x)dx + ∫cos(x)dx = -cos(x) + sin(x) + C
b) ∫(e^x - 2)dx = ∫e^xdx - 2∫dx = e^x - 2x + C

IV. Lưu ý quan trọng

Luôn nhớ thêm hằng số tích phân C khi tìm nguyên hàm.
Sử dụng các quy tắc tìm nguyên hàm một cách linh hoạt để giải quyết các bài tập phức tạp hơn.
Kiểm tra lại kết quả bằng cách lấy đạo hàm của nguyên hàm vừa tìm được, xem có bằng hàm số ban đầu hay không.