Lý thuyết Nguyên hàm Toán 12 Cánh Diều

Lý thuyết Nguyên hàm của một hàm số sơ cấp Toán 12 Cánh Diều

Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Nguyên hàm trong chương trình Toán 12 Cánh Diều. Đây là một phần kiến thức quan trọng, nền tảng cho việc học tích phân và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác.

Bài viết này sẽ cung cấp một cách đầy đủ và dễ hiểu về định nghĩa, tính chất và các công thức tính nguyên hàm cơ bản của các hàm số sơ cấp.

1. Nguyên hàm của hàm số lũy thừa Hàm số lũy thừa \(y = {x^\alpha }(\alpha \in R)\) có đạo hàm với mọi x > 0 và \(({x^\alpha })' = \alpha {x^{\alpha - 1}}\) \(\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C(\alpha \ne - 1)} \)

1. Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa \(y = {x^\alpha }(\alpha \in R)\) có đạo hàm với mọi x > 0 và \(({x^\alpha })' = \alpha {x^{\alpha - 1}}\)

\(\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C(\alpha \ne - 1)} \)

2. Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{x}\)

\(\int {\frac{1}{x}x = \ln \left| x \right| + C} \)

3. Nguyên hàm của hàm số lượng giác

\(\int {\cos xdx = \sin x + C} \)
\(\int {\sin xdx = - \cos x + C} \)
\(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C} \)
\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = - \cot x + C} \)

4. Nguyên hàm của hàm số mũ

\(\int {{e^x}dx = {e^x} + C} \)
\(\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C(0 < a \ne 1)} \)

Lý thuyết Nguyên hàm của một hàm số sơ cấp Toán 12 Cánh Diều 1

Chinh phục điểm cao Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán, rộng mở cánh cửa Đại học với nội dung Lý thuyết Nguyên hàm của một hàm số sơ cấp Toán 12 Cánh Diều trong chuyên mục đề thi toán 12 trên nền tảng tài liệu toán! Bộ bài tập toán thpt, được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, cam kết tối ưu hóa toàn diện lộ trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn trang bị chiến thuật làm bài hiệu quả, tự tin đạt kết quả đột phá, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vững vàng vào đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, khoa học và mang lại hiệu quả học tập vượt trội.

Lý thuyết Nguyên hàm của một hàm số sơ cấp Toán 12 Cánh Diều

Nguyên hàm là một khái niệm quan trọng trong giải tích, đóng vai trò then chốt trong việc tính tích phân và giải quyết nhiều bài toán thực tế. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết nguyên hàm của một hàm số sơ cấp, theo chương trình Toán 12 Cánh Diều.

1. Định nghĩa Nguyên hàm

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng I nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc I. Ký hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C, trong đó C là hằng số tích phân.

2. Tính chất của Nguyên hàm

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) với mọi hằng số C.
Hàm số f(x) có vô số nguyên hàm, chúng khác nhau ở hằng số tích phân.

3. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản

Dưới đây là bảng tổng hợp nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp thường gặp:

Hàm số f(x)	Nguyên hàm F(x)
xⁿ (n ≠ -1)	(xⁿ⁺¹)/(n+1) + C
1/x	ln\|x\| + C
e^x	e^x + C
sin(x)	-cos(x) + C
cos(x)	sin(x) + C
1/(1+x²)	arctan(x) + C

4. Các quy tắc tính nguyên hàm

Quy tắc 1: Nguyên hàm của tổng (hiệu) hai hàm số: ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx
Quy tắc 2: Nguyên hàm của tích một hằng số với hàm số: ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx (với k là hằng số)
Quy tắc 3: Nguyên hàm của hàm hợp: ∫f(g(x))g'(x)dx = F(g(x)) + C (với F là nguyên hàm của f)

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính ∫(x² + 3x - 2)dx

Áp dụng quy tắc 1, ta có: ∫(x² + 3x - 2)dx = ∫x²dx + 3∫xdx - 2∫dx = (x³/3) + (3x²/2) - 2x + C

Ví dụ 2: Tính ∫e^2xdx

Đặt u = 2x, suy ra du = 2dx, do đó dx = du/2. Khi đó, ∫e^2xdx = ∫e^u(du/2) = (1/2)∫e^udu = (1/2)e^u + C = (1/2)e^2x + C

6. Ứng dụng của Nguyên hàm

Nguyên hàm có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành.
Tính thể tích vật thể.
Giải các bài toán liên quan đến tốc độ và quãng đường.
Trong vật lý, nguyên hàm được sử dụng để tính công thực hiện bởi một lực.

7. Bài tập luyện tập

Tính ∫(x³ - 5x + 1)dx
Tính ∫cos(3x)dx
Tính ∫(2x + 1)²dx

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết Nguyên hàm của một hàm số sơ cấp Toán 12 Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!