Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết biểu thức tọa độ của các phép toán vecto trong chương trình Toán 12 Cánh Diều.
Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và quan trọng nhất về cách biểu diễn các phép toán cộng, trừ, nhân với một số thực, và tích vô hướng của hai vecto trong hệ tọa độ.
1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vecto, phép trừ hai vecto, phép nhân một số với một vecto
1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vecto, phép trừ hai vecto, phép nhân một số với một vecto
Trong không gian Oxyz, cho hai vecto \(\overrightarrow a = (x;y;z)\). và \(\overrightarrow b = (x';y';z')\). Ta có: ·\(\overrightarrow a + \overrightarrow b = (x + x';y + y';z + z')\) ·\(\overrightarrow a - \overrightarrow b = (x - x';y - y';z - z')\) \(k\overrightarrow a = (kx;ky;kz)\) với k là một số thực |
2. Tọa độ trung điểm đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm tam giác
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng \(A({x_A};{y_A};{z_A}),B({x_B};{y_B};{z_B}),C({x_C};{y_C};{z_C})\). Khi đó: ·Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\) Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{2}} \right)\) |
3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
| Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow a = (x;y;z)\) và \(\overrightarrow b = (x';y';z')\) được xác định bởi công thức \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = xx' + yy' + zz'\) |
4. Cách tìm tọa độ của một vecto vuông góc với hai vecto cho trước
Cho hai vecto \(\overrightarrow a = (x;y;z)\) và \(\overrightarrow b = (x';y';z')\) không cùng phương. Khi đó, vecto \(\overrightarrow w = (yz' - y'z;zx' - z'x;xy' - x'y)\) vuông góc với cả hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) |
Trong chương trình Toán 12, phần Hình học Vectơ đóng vai trò quan trọng, đặc biệt là kiến thức về biểu thức tọa độ của các phép toán trên vectơ. Việc nắm vững lý thuyết này không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán một cách hiệu quả mà còn là nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn trong chương trình học.
Một vectơ a được biểu diễn bằng tọa độ a = (x; y), trong đó x là hoành độ và y là tung độ của vectơ. Vectơ không (vectơ 0) có tọa độ (0; 0).
Cho hai vectơ a = (x1; y1) và b = (x2; y2). Tổng của hai vectơ a + b có tọa độ:
a + b = (x1 + x2; y1 + y2)
Cho hai vectơ a = (x1; y1) và b = (x2; y2). Hiệu của hai vectơ a - b có tọa độ:
a - b = (x1 - x2; y1 - y2)
Cho vectơ a = (x; y) và một số thực k. Tích của vectơ a với số thực k có tọa độ:
ka = (kx; ky)
Cho hai vectơ a = (x1; y1) và b = (x2; y2). Tích vô hướng của hai vectơ a. b được tính bằng công thức:
a. b = x1x2 + y1y2
Cho hai điểm A(x1; y1) và B(x2; y2). Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:
I = ((x1 + x2)/2; (y1 + y2)/2)
Cho tam giác ABC với các đỉnh A(x1; y1), B(x2; y2), và C(x3; y3). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:
G = ((x1 + x2 + x3)/3; (y1 + y2 + y3)/3)
Ví dụ 1: Cho a = (2; -3) và b = (-1; 4). Tính a + b và a - b.
a + b = (2 - 1; -3 + 4) = (1; 1)
a - b = (2 - (-1); -3 - 4) = (3; -7)
Ví dụ 2: Cho a = (1; 2) và k = 3. Tính ka.
ka = (3 * 1; 3 * 2) = (3; 6)
Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng về lý thuyết biểu thức tọa độ của các phép toán vecto trong chương trình Toán 12 Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!
