Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập 10 trang 41 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập toán học.
Bài tập 10 thuộc chương trình học Toán 12 tập 2, tập trung vào các kiến thức về tích phân.
Sau khi đo kích thước của thùng rượu vang (Hình 36), bạn Quân xác định thùng rượu vang có dạng hình tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (y = - 0,011{x^2} - 0,071x + 40), trục Ox và hai đường thẳng x = -35, x = 35 quay quanh trục Ox. Tính thể tích thùng rượu đó, biết đơn vị trên mỗi trục tọa độ là centimet
Đề bài
Sau khi đo kích thước của thùng rượu vang (Hình 36), bạn Quân xác định thùng rượu vang có dạng hình tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = - 0,011{x^2} - 0,071x + 40\), trục Ox và hai đường thẳng x = -35, x = 35 quay quanh trục Ox. Tính thể tích thùng rượu đó, biết đơn vị trên mỗi trục tọa độ là centimet
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a;b]. Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay có thể tích bằng \(V = \pi \int\limits_a^b {{{[f(x)]}^2}dx} \).
Lời giải chi tiết
Thể tích thùng rượu vang đó là:
\(V = \pi \int\limits_{ - 35}^{35} {{{( - 0,011{x^2} - 0,071x + 40)}^2}dx} \)
\( = \pi \int\limits_{ - 35}^{35} {(0,000121{x^2} + 0,005041{x^2} + 1600 + 0,001562{x^3} - 0,88{x^2} - 5,68x)dx} \)\( = \pi \int\limits_{ - 35}^{35} {(0,000121{x^2} + 0,001562{x^3} - 0,874959{x^2} - 5,68x + 1600)dx} \)
\( = \pi (0,0000242{x^5} + 0,0003905{x^4} - 0,291653{x^3} - 2,84{x^2} + 1600x)|_{ - 35}^{35}\)
\( \approx 281275,6307\) \((c{m^2})\).
Bài tập 10 trang 41 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong. Đây là một dạng bài tập quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi THPT Quốc gia. Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản về tích phân, phương pháp tính tích phân và kỹ năng vẽ đồ thị hàm số.
Bài tập 10 bao gồm các câu hỏi nhỏ, yêu cầu tính diện tích các hình phẳng khác nhau. Cụ thể:
Để giải bài tập 10, học sinh có thể áp dụng các phương pháp sau:
Bước 1: Xác định miền tích phân
Đường cong y = x2 - 4x + 3 cắt trục Ox tại các điểm có hoành độ x = 1 và x = 3. Miền tích phân là vùng hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục Ox trong khoảng [1, 3].
Bước 2: Lập công thức tính diện tích
Diện tích hình phẳng S = ∫13 |x2 - 4x + 3| dx
Bước 3: Tính tích phân
Vì x2 - 4x + 3 ≤ 0 trên khoảng [1, 3] nên |x2 - 4x + 3| = -(x2 - 4x + 3). Do đó:
S = ∫13 -(x2 - 4x + 3) dx = ∫13 (-x2 + 4x - 3) dx = [-x3/3 + 2x2 - 3x]13 = (-9 + 18 - 9) - (-1/3 + 2 - 3) = 0 - (-4/3) = 4/3
Vậy diện tích hình phẳng là 4/3.
(Giải tương tự như câu a, sử dụng kiến thức về tích phân hàm lượng giác)
(Giải tương tự như câu a, sử dụng kiến thức về tích phân hàm mũ và đổi biến)
Bài tập 10 trang 41 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính tích phân và ứng dụng vào việc giải quyết các bài toán thực tế. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày ở trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi đối mặt với bài tập này.
