Chương 4. Nguyên hàm. Tích phân

Chương 4: Nguyên Hàm và Tích Phân - Giải Toán 12 Cánh Diều Tập 2

Chương 4 trong sách giáo khoa Toán 12 Cánh Diều tập 2 tập trung vào hai khái niệm cốt lõi của giải tích: nguyên hàm và tích phân. Việc nắm vững kiến thức này không chỉ quan trọng cho kỳ thi THPT Quốc gia mà còn là nền tảng cho các môn học cao hơn liên quan đến toán học và khoa học kỹ thuật.

I. Nguyên Hàm

Nguyên hàm của một hàm số f(x) là một hàm số F(x) sao cho đạo hàm của F(x) bằng f(x), tức là F'(x) = f(x). Việc tìm nguyên hàm được gọi là phép tính tích phân bất định. Một hàm số f(x) có vô số nguyên hàm, khác nhau bởi một hằng số cộng.

1. Các tính chất của nguyên hàm

• Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x), với C là một hằng số bất kỳ.
• Nguyên hàm của một tổng (hiệu) bằng tổng (hiệu) các nguyên hàm.
• Nguyên hàm của một tích bằng tích của một hằng số với nguyên hàm.

2. Bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản

Học sinh cần nắm vững bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản như:

• ∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C (với n ≠ -1)
• ∫(1/x) dx = ln|x| + C
• ∫e^x dx = e^x + C
• ∫sin(x) dx = -cos(x) + C
• ∫cos(x) dx = sin(x) + C

II. Tích Phân Bất Định

Tích phân bất định là một phép toán ngược của phép vi phân. Nó cho phép ta tìm một hàm số khi biết đạo hàm của nó. Ký hiệu tích phân bất định là ∫f(x) dx.

1. Phương pháp tính tích phân bất định

• Sử dụng bảng nguyên hàm.
• Sử dụng phương pháp đổi biến số.
• Sử dụng phương pháp tích phân từng phần.

III. Tích Phân Xác Định

Tích phân xác định của một hàm số f(x) trên đoạn [a, b] là một số thực, biểu thị diện tích có dấu giữa đồ thị của hàm số f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a và x = b.

1. Định nghĩa tích phân xác định

Tích phân xác định được định nghĩa thông qua tổng Riemann.

2. Tính chất của tích phân xác định

• ∫_a^b f(x) dx = -∫_b^a f(x) dx
• ∫_a^b [f(x) + g(x)] dx = ∫_a^b f(x) dx + ∫_a^b g(x) dx
• ∫_a^b kf(x) dx = k∫_a^b f(x) dx

3. Ứng dụng của tích phân xác định

• Tính diện tích hình phẳng.
• Tính thể tích vật thể.
• Tính độ dài đường cong.

IV. Bài Tập Vận Dụng

Để củng cố kiến thức, học sinh cần luyện tập giải nhiều bài tập khác nhau. Giaibaitoan.com cung cấp đầy đủ lời giải chi tiết cho các bài tập trong SGK Toán 12 Cánh Diều tập 2, giúp bạn tự tin hơn trong quá trình học tập.

Hãy truy cập giaibaitoan.com để khám phá thêm nhiều tài liệu học tập hữu ích và phương pháp giải toán hiệu quả!