Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài tập 5 trang 40 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập tốt nhất, giúp bạn nắm vững kiến thức và đạt kết quả cao trong môn Toán.
Cho đồ thị hàm số (y = frac{1}{x}) và khối tròn xoay như Hình 31 a) Hình phẳng được giới hạn bởi các đường nào để khi xoay quanh trục Ox ta được khối tròn xoay như Hình 31? b) Tính thể tích khối tròn xoay đó
Đề bài
Cho đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{x}\) và khối tròn xoay như Hình 31.
a) Hình phẳng được giới hạn bởi các đường nào để khi xoay quanh trục Ox ta được khối tròn xoay như Hình 31?
b) Tính thể tích khối tròn xoay đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Quan sát hình vẽ.
b) Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a;b]. Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay có thể tích bằng \(V = \pi \int\limits_a^b {{{[f(x)]}^2}dx} \).
Lời giải chi tiết
a) Hình phẳng đó được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{x}\), trục Ox, đường thẳng x = 1 và x = 2.
b) Thể tích khối tròn xoay đó là:
\(V = \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {\frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_1^2 {{x^{ - 2}}dx} = \pi \frac{{{x^{ - 2 + 1}}}}{{ - 2 + 1}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\end{array}} \right. = - \pi {x^{ - 1}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\end{array}} \right. = \frac{{ - \pi }}{x}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\end{array}} \right. = \frac{{ - \pi }}{2} - \frac{{ - \pi }}{1} = \frac{\pi }{2}\).
Bài tập 5 trang 40 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản về đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm và các ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị, khoảng đơn điệu của hàm số.
Bài tập 5 bao gồm các câu hỏi liên quan đến việc tính đạo hàm của hàm số và ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán liên quan đến tốc độ thay đổi của đại lượng. Cụ thể, bài tập yêu cầu học sinh:
Để tính đạo hàm của hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1, ta sử dụng các quy tắc tính đạo hàm cơ bản:
Áp dụng các quy tắc trên, ta có:
f'(x) = 3x^2 - 6x + 2
Để tìm các điểm cực trị của hàm số f(x), ta thực hiện các bước sau:
Ta đã tính được f'(x) = 3x^2 - 6x + 2. Giải phương trình f'(x) = 0, ta được:
3x^2 - 6x + 2 = 0
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:
x = (6 ± √(36 - 4*3*2)) / (2*3) = (6 ± √12) / 6 = (6 ± 2√3) / 6 = 1 ± √3/3
Vậy, các điểm dừng của hàm số là x1 = 1 - √3/3 và x2 = 1 + √3/3.
Xét dấu của f'(x) trên các khoảng (-∞, 1 - √3/3), (1 - √3/3, 1 + √3/3) và (1 + √3/3, +∞), ta thấy:
Vậy, hàm số đạt cực đại tại x1 = 1 - √3/3 và đạt cực tiểu tại x2 = 1 + √3/3.
Dựa vào kết quả xét dấu của f'(x) ở câu b, ta có thể xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số:
Bài tập 5 trang 40 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, bạn đã có thể giải bài tập này một cách hiệu quả. Chúc bạn học tốt!
