Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số - Giải Toán 12 Cánh Diều Tập 1

Bài 4 trong chương 1 Toán 12 Cánh Diều tập 1 là một bước quan trọng trong việc ứng dụng đạo hàm vào việc phân tích và biểu diễn hàm số. Việc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số không chỉ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tính chất của hàm số mà còn là nền tảng cho các bài toán tối ưu và các ứng dụng thực tế khác.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định tập xác định: Tìm miền xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm cấp nhất: Tính f'(x).
3. Tìm điểm tới hạn: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm tới hạn (x₀).
4. Xác định khoảng đơn điệu: Xét dấu f'(x) trên các khoảng xác định để xác định khoảng hàm số đồng biến, nghịch biến.
5. Tìm cực trị: Sử dụng dấu của f'(x) để xác định cực đại, cực tiểu của hàm số.
6. Tính giới hạn vô cực: Tính lim_x→+∞ f(x) và lim_x→-∞ f(x) để xác định tiệm cận ngang.
7. Tìm tiệm cận đứng: Tìm các giá trị x sao cho f(x) tiến tới vô cực để xác định tiệm cận đứng.
8. Lập bảng biến thiên: Tổng hợp các thông tin đã tìm được vào bảng biến thiên.
9. Vẽ đồ thị: Dựa vào bảng biến thiên và các điểm đặc biệt để vẽ đồ thị hàm số.

II. Giải bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x³ - 3x² + 2.

Giải:

• Tập xác định: D = ℝ
• Đạo hàm cấp nhất: y' = 3x² - 6x
• Điểm tới hạn: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
• Khoảng đơn điệu:
  • x < 0: y' > 0 => Hàm số đồng biến
  • 0 < x < 2: y' < 0 => Hàm số nghịch biến
  • x > 2: y' > 0 => Hàm số đồng biến
• Cực trị:
  • x = 0: Điểm cực đại, y(0) = 2
  • x = 2: Điểm cực tiểu, y(2) = -2
• Giới hạn vô cực: lim_x→+∞ y = +∞, lim_x→-∞ y = -∞

Bảng biến thiên:

Đồ thị: (Mô tả đồ thị hàm số y = x³ - 3x² + 2)

III. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Giaibaitoan.com cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, giúp các em rèn luyện kỹ năng và tự tin hơn trong các kỳ thi.

Các em có thể tìm thấy các bài tập tương tự trong sách giáo khoa Toán 12 Cánh Diều tập 1, các đề thi thử và các nguồn tài liệu học tập trực tuyến khác.

IV. Lưu ý khi giải bài tập

Khi giải bài tập về khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số, các em cần chú ý:

• Đọc kỹ đề bài và xác định đúng yêu cầu của bài toán.
• Thực hiện các bước giải một cách chính xác và logic.
• Kiểm tra lại kết quả và đảm bảo tính hợp lý của đồ thị.
• Sử dụng các công cụ hỗ trợ như máy tính bỏ túi hoặc phần mềm vẽ đồ thị để kiểm tra kết quả.

Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!