Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập 13 trang 48 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán tương tự.
Bài tập 13 thuộc chương trình học Toán 12 tập 1, tập trung vào các kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Có hai xã A,B cùng ở một bên bờ sông Lam, khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là AA’ =500m, BB’=600m và người ta đo được A’B’= 2.200m(hình 37). Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông Lam cho người dân hai xã. Để tiết kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí M của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn A’B’ sao cho tổng khoảng cách từ hai xa đến vị trí M là nhỏ nhất. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó.
Đề bài
Có hai xã A,B cùng ở một bên bờ sông Lam, khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là AA’ =500m, BB’=600m và người ta đo được A’B’= 2.200m(hình 37). Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông Lam cho người dân hai xã. Để tiết kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí M của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn A’B’ sao cho tổng khoảng cách từ hai xa đến vị trí M là nhỏ nhất. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Phân tích đề bài
- Tìm mối liên hệ trong bài
Lời giải chi tiết
Đặt A'M = x (m).
Suy ra B'M = A'B' – A'M = 2200 – x (m).
Rõ ràng, x phải thỏa mãn điều kiện 0 < x < 2200.
Áp dụng định lí Pythagore ta tính được:
\(AM = \sqrt {A'{A^2} + A'{M^2}} {\rm{\;}} = \sqrt {{{500}^2} + {x^2}} \) (m)
\(BM = \sqrt {B'{B^2} + B'{M^2}} {\rm{\;}} = \sqrt {{{600}^2} + {{(2200 - x)}^2}} \) (m)
Tổng khoảng cách từ hai vị trí A, B đến vị trí M là
\(D = AM + BM = \sqrt {{{500}^2} + {x^2}} {\rm{\;}} + \sqrt {{{600}^2} + {{(2200 - x)}^2}} \) (m)
Xét hàm số \(D(x) = \sqrt {{{500}^2} + {x^2}} {\rm{\;}} + \sqrt {{{600}^2} + (2200 - {x^2})} \) với \(x \in (0;2200)\).
\(D'(x) = \frac{{2x}}{{2\sqrt {{{500}^2} + {x^2}} }} + \frac{{2x - 4400}}{{\sqrt {{{600}^2} + {{(2200 - x)}^2}} }} = \frac{x}{{\sqrt {{{500}^2} + {x^2}} }} + \frac{{x - 2200}}{{\sqrt {{{600}^2} + {{(2200 - x)}^2}} }}\).
Trên khoảng (0;2200), ta thấy D'(x) = 0 khi x = 1000.
Bảng biến thiên của hàm số D(x) như sau:
Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số D(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(1100\sqrt 5 \) tại x = 1 000.
Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách cần tìm là \(1100\sqrt 5 \) m.
Bài tập 13 trang 48 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều là một bài toán quan trọng trong chương trình học, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết. Bài toán này thường liên quan đến việc tìm đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, và tìm cực trị của hàm số.
Bài tập 13 thường bao gồm các câu hỏi sau:
Bài toán: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số.
Giải:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + | |
| y | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến |
Ngoài SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để nâng cao kiến thức và kỹ năng giải bài tập:
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em sẽ tự tin giải quyết bài tập 13 trang 48 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
