Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập mục 1 trang 81, 82 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán.
Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12 tập 2, tập trung vào các kiến thức về tích phân và ứng dụng của tích phân.
Hình 38 mô tả một mặt cầu trong không gian. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình của mặt cầu được lập như thế nào?
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 82 SGK Toán 12 Cánh diều
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1; 2; 3) và mặt cầu tâm I đi qua điểm A(0; 4; 5). Tính bán kính R của mặt cầu đó.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về vị trí của điểm so với mặt cầu để tìm bán kính của mặt cầu: Cho mặt cầu tâm I, bán kính R và điểm M bất kì trong không gian. Điểm M thuộc mặt cầu tâm I, bán kính R khi và chỉ khi \(IM = R\).
Lời giải chi tiết:
Vì mặt cầu tâm I đi qua điểm A nên IA là bán kính của mặt cầu.
Bán kính của mặt cầu là: \(R = IA = \sqrt {{{\left( {0 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2} + {{\left( {5 - 3} \right)}^2}} = 3\).
Trả lời câu hỏi khởi động trang 81 SGK Toán 12 Cánh diều
Hình 38 mô tả một mặt cầu trong không gian.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình của mặt cầu được lập như thế nào?
Phương pháp giải:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình của mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R là: \(\sqrt {{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2} + {{\left( {z - c} \right)}^2}} = R\).
Lời giải chi tiết:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình của mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R là: \(\sqrt {{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2} + {{\left( {z - c} \right)}^2}} = R\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 81 SGK Toán 12 Cánh diều
Nếu quay đường tròn tâm I bán kính R quanh đường kính AB một vòng (Hình 39) thì hình tạo thành được gọi là mặt cầu. Những điểm thuộc mặt cầu đó cách I một khoảng bằng bao nhiêu?
Phương pháp giải:
Khi quay đường tròn tâm I bán kính R quanh đường kính AB một vòng thì điểm thuộc mặt cầu đó cách I một khoảng bằng R.
Lời giải chi tiết:
Khi quay đường tròn tâm I bán kính R quanh đường kính AB một vòng thì điểm thuộc mặt cầu đó cách I một khoảng bằng R.
Trả lời câu hỏi khởi động trang 81 SGK Toán 12 Cánh diều
Hình 38 mô tả một mặt cầu trong không gian.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình của mặt cầu được lập như thế nào?
Phương pháp giải:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình của mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R là: \(\sqrt {{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2} + {{\left( {z - c} \right)}^2}} = R\).
Lời giải chi tiết:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình của mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R là: \(\sqrt {{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2} + {{\left( {z - c} \right)}^2}} = R\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 81 SGK Toán 12 Cánh diều
Nếu quay đường tròn tâm I bán kính R quanh đường kính AB một vòng (Hình 39) thì hình tạo thành được gọi là mặt cầu. Những điểm thuộc mặt cầu đó cách I một khoảng bằng bao nhiêu?
Phương pháp giải:
Khi quay đường tròn tâm I bán kính R quanh đường kính AB một vòng thì điểm thuộc mặt cầu đó cách I một khoảng bằng R.
Lời giải chi tiết:
Khi quay đường tròn tâm I bán kính R quanh đường kính AB một vòng thì điểm thuộc mặt cầu đó cách I một khoảng bằng R.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 82 SGK Toán 12 Cánh diều
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1; 2; 3) và mặt cầu tâm I đi qua điểm A(0; 4; 5). Tính bán kính R của mặt cầu đó.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về vị trí của điểm so với mặt cầu để tìm bán kính của mặt cầu: Cho mặt cầu tâm I, bán kính R và điểm M bất kì trong không gian. Điểm M thuộc mặt cầu tâm I, bán kính R khi và chỉ khi \(IM = R\).
Lời giải chi tiết:
Vì mặt cầu tâm I đi qua điểm A nên IA là bán kính của mặt cầu.
Bán kính của mặt cầu là: \(R = IA = \sqrt {{{\left( {0 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2} + {{\left( {5 - 3} \right)}^2}} = 3\).
Mục 1 trang 81, 82 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều tập trung vào việc ôn tập và củng cố kiến thức về tích phân, bao gồm các phương pháp tính tích phân cơ bản, ứng dụng của tích phân trong việc tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình học.
Bài tập trong mục này bao gồm nhiều dạng khác nhau, đòi hỏi học sinh phải vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học. Dưới đây là phân tích chi tiết từng bài tập:
∫(x^2 + 1) dx
∫(sin x + cos x) dx
∫(e^x + 2x) dx
Lời giải:
∫(x^2 + 1) dx = x^3/3 + x + C
∫(sin x + cos x) dx = -cos x + sin x + C
∫(e^x + 2x) dx = e^x + x^2 + C
y = x^2 và y = 4
Lời giải:
Diện tích hình phẳng được tính bằng công thức: S = ∫[a, b] |f(x) - g(x)| dx. Trong trường hợp này, a = -2, b = 2, f(x) = 4 và g(x) = x^2. Do đó, S = ∫[-2, 2] (4 - x^2) dx = [4x - x^3/3] từ -2 đến 2 = (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 16 - 16/3 = 32/3.
y = x^2 và y = 0, x = 1, x = 2
Lời giải:
Thể tích vật thể tròn xoay được tính bằng công thức: V = π ∫[a, b] y^2 dx. Trong trường hợp này, a = 1, b = 2 và y = x^2. Do đó, V = π ∫[1, 2] (x^2)^2 dx = π ∫[1, 2] x^4 dx = π [x^5/5] từ 1 đến 2 = π (32/5 - 1/5) = 31π/5.
Để giải các bài tập tích phân một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các phương pháp sau:
Phương pháp đổi biến số: Sử dụng khi biểu thức dưới dấu tích phân có dạng phức tạp, có thể đơn giản hóa bằng cách đổi biến số.
Phương pháp tích phân từng phần: Sử dụng khi biểu thức dưới dấu tích phân là tích của hai hàm số.
Phương pháp phân tích thành nhân tử: Sử dụng khi biểu thức dưới dấu tích phân có thể phân tích thành nhân tử.
Sử dụng bảng nguyên hàm: Tra cứu các nguyên hàm cơ bản trong bảng nguyên hàm để giải nhanh các bài tập đơn giản.
Luôn kiểm tra lại kết quả bằng cách lấy đạo hàm của nguyên hàm để đảm bảo kết quả đúng.
Chú ý đến các giới hạn tích phân khi tính tích phân xác định.
Vận dụng linh hoạt các phương pháp giải tích phân để tìm ra lời giải tối ưu.
Hy vọng với lời giải chi tiết và các phương pháp giải tích phân hiệu quả được trình bày trên đây, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập mục 1 trang 81, 82 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều. Chúc các em học tập tốt!
