Bài 4. Ứng dụng hình học của tích phân

Bài 4. Ứng dụng hình học của tích phân - SGK Toán 12 - Cánh diều: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 4 trong chương trình Toán 12 tập 2, sách Cánh diều, là một bước tiến quan trọng trong việc hiểu và vận dụng tích phân vào giải quyết các bài toán thực tế, đặc biệt là trong lĩnh vực hình học. Bài học này tập trung vào việc tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường cong, trục tọa độ và các đường thẳng. Dưới đây là giải chi tiết và hướng dẫn giải các bài tập trong Bài 4, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng cần thiết.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần ôn lại một số lý thuyết trọng tâm:

• Diện tích hình phẳng: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục Ox, đường thẳng x = a và x = b được tính bằng công thức: ∫_a^b |f(x)| dx.
• Chú ý: Nếu f(x) > 0 trên [a, b] thì ∫_a^b f(x) dx là diện tích hình phẳng. Nếu f(x) < 0 trên [a, b] thì ∫_a^b f(x) dx là diện tích hình phẳng với dấu âm, do đó cần lấy trị tuyệt đối.
• Các bước giải bài toán tính diện tích hình phẳng:
  1. Vẽ đồ thị hàm số.
  2. Xác định các điểm giao nhau của đồ thị hàm số với trục Ox và các đường thẳng.
  3. Chia miền hình phẳng thành các phần nhỏ hơn (nếu cần).
  4. Tính diện tích từng phần và cộng lại.

II. Giải bài tập Bài 4 - SGK Toán 12 - Cánh diều

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong sau:

(Ví dụ: y = x², y = 0, x = -1, x = 1)

Giải:

Diện tích hình phẳng cần tính là: ∫_-1¹ x² dx = [x³/3]_-1¹ = (1/3) - (-1/3) = 2/3

Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong sau:

(Ví dụ: y = sin(x), y = 0, x = 0, x = π)

Giải:

Diện tích hình phẳng cần tính là: ∫₀^π sin(x) dx = [-cos(x)]₀^π = -cos(π) - (-cos(0)) = -(-1) - (-1) = 2

Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong sau:

(Ví dụ: y = x² - 4x + 3, y = 0)

Giải:

Đầu tiên, tìm giao điểm của đường cong với trục Ox: x² - 4x + 3 = 0 => x = 1 và x = 3. Diện tích hình phẳng cần tính là: -∫₁³ (x² - 4x + 3) dx = -[(x³/3) - 2x² + 3x]₁³ = -[(9 - 18 + 9) - (1/3 - 2 + 3)] = -[0 - (4/3)] = 4/3

III. Mở rộng và nâng cao

Ngoài các bài tập cơ bản, Bài 4 còn có thể mở rộng ra các bài toán phức tạp hơn, ví dụ như tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong, hoặc tính diện tích hình phẳng bằng phương pháp khác (ví dụ: sử dụng tích phân suy rộng).

IV. Luyện tập thêm

Để củng cố kiến thức và kỹ năng, bạn nên luyện tập thêm các bài tập tương tự trong sách giáo khoa, sách bài tập và các nguồn tài liệu khác. Việc thực hành thường xuyên sẽ giúp bạn tự tin hơn khi giải các bài toán về ứng dụng hình học của tích phân.

Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, bạn sẽ nắm vững kiến thức và kỹ năng giải Bài 4. Ứng dụng hình học của tích phân - SGK Toán 12 - Cánh diều. Chúc bạn học tốt!