Ứng dụng hình học của tích phân là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12 Cánh Diều, giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về mối liên hệ giữa tích phân và các bài toán hình học. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lý thuyết đầy đủ, dễ hiểu cùng với các ví dụ minh họa chi tiết.
Chủ đề này bao gồm các ứng dụng như tính diện tích hình phẳng, tính thể tích khối tròn xoay, và các bài toán liên quan đến độ dài đường cong.
1.Tính diện tích hình phẳng a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \)
1.Tính diện tích hình phẳng
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \) |
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f(x), g(x) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \) |
2. Tính thể tích của hình khối
Cho một vật thể trong không gian Oxyz. Gọi \(\beta \) là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm có hoành độ x = a, x = b. Một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích là S(x). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Khi đó thể tích V của vật thể \(\beta \) được tính bởi công thức \(V = \int\limits_a^b {S(x)dx} \) |
b) Thể tích của khối tròn xoay
Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b xung quanh trục hoành, ta được hình khối gọi là một khối tròn xoay. Khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm \(x \in \left[ {a;b} \right]\) được một hình tròn có bán kính f(x). Thể tích của khối tròn xoay này là: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} \) |
Ứng dụng hình học của tích phân là một trong những nội dung trọng tâm của chương trình Toán 12 Cánh Diều. Nó không chỉ giúp học sinh củng cố kiến thức về tích phân mà còn mở rộng khả năng giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến hình học. Việc nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải bài tập trong phần này là rất quan trọng để đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành Ox và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức:
S = ∫ab |f(x)| dx
Trong đó:
Để tính diện tích hình phẳng, ta cần xác định đúng khoảng tích phân và dấu của hàm số f(x) trên khoảng đó. Nếu f(x) âm trên một phần của khoảng tích phân, ta cần lấy giá trị tuyệt đối của hàm số.
Có hai phương pháp chính để tính thể tích khối tròn xoay:
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox được tính bằng công thức:
V = π ∫ab [f(x)]2 dx
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi x = g(y), trục Oy và hai đường thẳng y = c, y = d quanh trục Oy được tính bằng công thức:
V = π ∫cd [g(y)]2 dy
Việc lựa chọn phương pháp nào phụ thuộc vào hình dạng của hình phẳng và trục quay.
Ngoài việc tính diện tích và thể tích, tích phân còn được ứng dụng để tính:
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x2 và y = 4.
Giải:
Điểm giao nhau của hai đường cong là x = -2 và x = 2. Diện tích hình phẳng là:
S = ∫-22 (4 - x2) dx = [4x - x3/3]-22 = (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 16 - 16/3 = 32/3
Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = √x, trục Ox và x = 4 quanh trục Ox.
Giải:
Thể tích khối tròn xoay là:
V = π ∫04 (√x)2 dx = π ∫04 x dx = π [x2/2]04 = π (16/2) = 8π
Để học tốt phần ứng dụng hình học của tích phân, bạn nên:
Ứng dụng hình học của tích phân là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 12 Cánh Diều. Việc hiểu rõ lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải bài tập sẽ giúp bạn tự tin hơn trong các kỳ thi và ứng dụng kiến thức vào thực tế.
