Bài 1. Phương trình mặt phẳng

Bài 1 trong chương 5 của sách Toán 12 tập 2 Cánh diều tập trung vào việc xây dựng và hiểu rõ phương trình mặt phẳng trong không gian. Đây là một kiến thức nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán về hình học không gian, đặc biệt là trong chương trình học Toán 12.

1. Khái niệm cơ bản về mặt phẳng trong không gian

Mặt phẳng trong không gian được xác định bởi ba điểm không thẳng hàng hoặc một điểm và một vectơ pháp tuyến. Vectơ pháp tuyến là vectơ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng.

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng: ax + by + cz + d = 0, trong đó (a, b, c) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và d là một hằng số.

3. Các dạng phương trình của mặt phẳng

Phương trình tham số của mặt phẳng: Mặt phẳng đi qua điểm M₀(x₀, y₀, z₀) và có vectơ pháp tuyến \vec{n} = (a, b, c) có phương trình tham số:
- x = x₀ + ta
- y = y₀ + tb
- z = z₀ + tc
Phương trình mặt phẳng khi biết ba điểm: Nếu mặt phẳng đi qua ba điểm A(x_A, y_A, z_A), B(x_B, y_B, z_B), C(x_C, y_C, z_C) thì có thể tìm vectơ pháp tuyến \vec{n} bằng tích có hướng của hai vectơ \vec{AB} và \vec{AC}.

4. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1, 2, 3) và có vectơ pháp tuyến \vec{n} = (4, -5, 6).

Giải: Phương trình mặt phẳng có dạng: 4(x - 1) - 5(y - 2) + 6(z - 3) = 0. Khai triển và rút gọn, ta được: 4x - 5y + 6z - 15 = 0.

Ví dụ 2: Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1).

Giải: Ta có \vec{AB} = (-1, 1, 0) và \vec{AC} = (-1, 0, 1). Vectơ pháp tuyến \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (1, 1, 1). Phương trình mặt phẳng có dạng: x + y + z - 1 = 0.

5. Các ứng dụng của phương trình mặt phẳng

Phương trình mặt phẳng có nhiều ứng dụng trong thực tế, như:

Xác định vị trí tương đối giữa các mặt phẳng.
Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Giải các bài toán về hình học không gian.

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về phương trình mặt phẳng, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Hãy tham khảo sách giáo khoa, sách bài tập và các tài liệu học tập trực tuyến để có thêm nhiều bài tập thực hành.

7. Kết luận

Bài 1. Phương trình mặt phẳng là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc hiểu rõ khái niệm, các dạng phương trình và ứng dụng của phương trình mặt phẳng sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả. Chúc bạn học tập tốt!